74 P H I L O S O P H I C N A T U R A L I S
Motu comm Apollonii) reétangulum jÉ É H ad reétangulum AGfiB in data
DM ratione. Sed GfKSe T R aequales funi, utpote aequalium O K , O T ,
Se 0 & , O R differenti®, Se inde etiam reétangula T Q K Se A<^x T R
àqualia funt ; atque ideo reétangulum T Q x T R eft ad reétangu-
lum A ü ¿ B , hoc eft ad reétangulum T S x T T in data ratione.
& A. D .
Caf. z. Ponamus jam trapezii latera oppofita A C S e B D non effe
parallela. Age B d parallelam A C Se occurrentem tum reét® S T
in t, tum conicae feétioni in d. Junge C d fecantem T ^ in r, Se
ipíi T 6) parallelam age D M fecan- v c
tem C d in M Se A B in N . Jam
ob fimilia triangula B T t, D B N ; e il S
B t feu T £ ad T t ut T > N ad N B .
Sic & R r eft ad A feu T S ut D M
ad A N . Ergo, ducendo antecedentes
in antecedentes & confequentes
in confequentes, ut reétangulum T ü¡¿
in R r eft ad reétangulum P J -in T b
ita reétangulum N T ) M eit ad reétangulum A N B ,S e (per caf. i.)
ita reétangulum T ^ in T r eft ad reétangulum T S in T t , ac divifim
ita reétangulum T A A eft ad reétangulum T S x T T.
£ . A . T>.
Caf. 3. Ponamus denique lineas
quatuor T T R , T S , T T non effe
parallelas lateribus A C , A B , fed ad
ea uteunque inclinatas. Earum vice
age T q, T r parallelas ipfi A C ; &
T s, T t parallelas ipfi A B ; & prop-
ter datos ángulos triangulorum T G)q,
T R r, T S s, T T t , dabuntur ratio-
nes T ^ a d T q , T R ad T r, T S ad
T s, Se T T ad A t ; atque ideo rationes compofitse A g x A A ad
T q % T r , Se A S x T T ad A i x A f . Sed, per fuperius demon-
ftrata, ratio T q x T r ad T s x T t data eft : ergo & ratio T ^ x T R
ad T S x T T . g . A, D.
L E M M A
L i BER
P R I M u S.
L E M M A X V I I I .
lifdem pofitis, f i reBangulum duBarum ad oppofita duo latera
trapezii P Q x P R f lt reBangulum duBarum ad reliqua
duo latera P S x P T in data ratione -, punctum P, a qüo
linea ducuntur, tanget conicam feBionem circa trapezium
deferiptam.
Per punéta A, B ,C ,D Se aliquod infinitorum punétorum A , puta
p, coneipe conicam feétionem deferibi : dico punétum A hanc
femper tangere. Si negas, junge A T fecantem hanc conicatn fe-
' étionem alibi quam in A , fi fieri poteft, puta in b. Ergo fi ab his
punétis P Se b ducantur in datis angulis ad latera trapezii reét&pq,
pr, p s, p t Se b k, b n ,b f , b d -, erit ut b k x b n ad b f f i bd ita
(per lem. x v i i . ) / # X / r ad p s x p t , & ita (per hypoth.) j^ ,X
ad T S x T T Eft & propter fimilitudinem trapeziorum b k A f ,
A © A S, ut b k ad b f ita A & ad A 1 Quare, applicando ter-
minos prioris proportionis ad términos correfpondentes hujus, erit
b n ad b d ut TR ad TT . Ergo
trapezia aeqtiiangula Dn bd, D R T T
fimilia funt, & eorum diagonales
Db , T) T proptenea coincidunt.
Incidit itaque b in interfeéiionem
reétarum A T , D A ideoque coin
cidit cum punito A . Quare pun-
dutn A , ubicunque fumatur, incidit
in affignatam conicam feétio-
nem. ,<£ A . D.
Corol. Hinc fi reét® tres A ! f ,
A A , A S a punito communi A R tt
ad alias totidem pofitione datas reétas A B , C D , A C , fingul® ad
lingula,s, in datis angulis ducantur, fitque reétangulum fiub duabus
duffis. A .£ x A A ad quadratum tenti® A S in data ratione: punétum
A , a quibus reét® ducuntur, locabitur in feétione conica
qu® tangit lineas A B, C D in A Se C; Se contra. Nam coeat linea
L z B D cum