ganze Maschinenlehre von der gröfsten Wichtigkeit. Haben also
zwey Massen Q , q, in verschiedenen Punkten eines Systems
angebracht, bey der Bewegung dieses Systems die gleichzeitigen
Geschwindigkeiten C, c; so ist es für die in das System wirkenden
Kräfte gleichgültig, ob die eine oder die andere dieser Massen
im Systeme beibehalten w ird , woferne nur
56.) Q . C2 = ? . c2
genommen wird.
§. 26. Wenn Fig. 8. den Durchschnitt eines aus gleichartiger
Materie bestehenden Parallelepipedums vorstellt, das sich bey c-
um eine Axe dreht, so ist das Moment der Trägheit dieser um c
herumlaufenden Masse der Summe Produkten aus jedem Körper-
theilchen in das Quadrat seiner Geschwindigkeit, also auch der
Summe von Produkten aus jedem Körpertheilchen in das Quadrat
seiner Entfernung von der Axe proportional , daher sich
auch die letztere Summe statt der-ersteren als Verhältnifszahl für
die Gröfse des Moments der Trägheit des Parallelepipedums brauchen
läfst.
Nun sey vw eine in der willkührlichen Höhe g r der ab parallel
gezogene gerade Linie ; die willkührlich genommene cg sey
— x, die g r d. i. die unveränderliche Höhe aller in v w liegenden
Raumpunkte z=ty, die c i = Z, die be = m, der mit einem
einfachen materiellen Theilchen erfüllte Raumpunkt r = dx , so
ist das Moment der Trägheit des Theilchens r = e r2 . dx
— (x2 -f-y 2)- dx, woy für alle Punkte in v w unveränderlich ist;
also das Moment der Trägheit der Linie s r = ƒ ( x 2 d x f - y 2 dx~)
z= i x 3 -J- y 2. x , und für die s w = \ l3 -(- y 2 • l. Für jede
andere Raumlinie zwischen cb und J e ergiebt sich das Moment
der Trägheit durch denselben Ausdruck, nur mufs das zu jeder
andern Linie gehörige y genommen also jetzt y als veränderlich
angesehen werden. Es kommt also drauf an , die Summe aller
Werthe, die für jedesy dem Ausdruck \ l3 + y 2 l zukommen,
auszudrucken; die Integration giebt aber
n \ i 3+ j 2 n ■ d y ~ \ i 3y + k b - s
und daher für die ganze Höhe c f jgjjjg m
das Moment der Trägheit
der Raumfläche cbef = \ l 3 m-\- lm3
— ± lm. ( l 2 + m2)
Daher, wenn des Parallelepipedum Breite, längst der Axe
gemessen, mit «bezeichnet w ird , und das Moment der Trägheit
des Parallelepip., von c bis e, M genennt wird
5y.) M = \ Imn . (I2 -j- m2 )
woraus sich dann auch das Moment der Trägheit des andern
Theils ca giebt.
Beider Summe ist das Moment der Trägheit des Parallelepipedums
ab.
Das Moment der Trägheit einer mit einfachen Körpertheil-
chen ausgefüllten Raumlinie,’ die um eine ihr parallele Axe herumlauft,
ist, wenn ihre Länge l heifst, und ihr Abstand von
der Axe = x ist, = x2 . I.
Das Moment der Trägheit cylindrischen von einfachen Körpertheilchen
ausgefüllten Raumfläche, die um des Cylinders Axe
lauft, ist, wenn die Entfernung von der Axe mit x und des
Cylinders Länge mit l bezeichnet, = 6,28 . x .1 .x2 — 6,28.1.x 3.
Wäre der ganze cylindrische Raum auf dieselbe Weise ausgefüllt,
so wäre sein
Moment der Trägheit I f 6,28 . I . x3dx 1 —-S-' 1' x
also, wenn das Moment der Trägheit eines Cylinders, dessen
Halbmesser ^ r wäre, mit M bezeichnet wird,
58. ) M = i . 3,14 . I . r4
Und weil nun das Moment der Trägheit eines Cylinders
vom Halbmesser R = \ . 3,14 . I . R 4 wäre, so hat man für das
Moment der Trägheit eines hohlen Cylinders, dessen Höhlung
einen Halbmesser = r hat, wenn des äussern Umfangs Halbmesser
R heifst,
59. ) M =