§• 4- W e il sich allemal die Gröfse einer bewegenden Kraft
R durch eine willkührlich gezogene gerade Linie cC (Fig. 2.)
ausdrucken läfst, so dient der vorige Satz zugleich, jede gegebene
Kraft R in Seitenkräfte zu zerlegen, indem man sie durch eine
willkührliche Linie cC ausdruckt, auf solcher ein willkührliches
Dreieck cdC errichtet und dann das Parallelogramm cd Ce vollends
auszeichnet. Jetzt bezeichnen die Seiten cd, ce nach demselben
Maasstabe die Seitenkräfte P , Q , nach welchem die cC die
Gröfse der Kraft R bezeichnet. Es ist für die Ebene, in welcher
der Punkt c liegt, völlig einerley, ob sie blols von der Kraft R
oder von den beyden so bestimmten Seitenkräften P und Q zugleich
angegriffen hingegen die R weggenommen wird.
§■ 5. Da man unter einem mathematischen Hebel ein System
von Punkten in einer festen, blofs um einen Punkt drehbaren
Ebene versteht, welche von Kräften in Richtungslinien, die in
derselben Ebene liegen, so angegriffen werden, dafs sich solche
einander zum Theil entgegenwirken, so erhellet aus (j\ 1.),
zugleich die Theorie des Hebels. Das Produkt P .A C . sin. a
oder Q. BC. sin. ß ist die Gröfse des Bestrebens zur Umdrehung
um den unverrückbaren Umdrehungspunkt C, oder das statische
Moment. Die angegriffenen Punkte mögen nun mit dem
Umdrehungspunkt C in einer einzigen geraden Linie liegen oder
nicht, d. i. der Hebel mag ein geradlinigter oder ein gebrochener
(ein Winkelhebel) seyn, so erhalten Kräfte; die an demselben
einander entgegen wirken , einander im Gleichgewicht, wenn
ihre statischen Momente gleich grofs sind.
§■ 6. Denkt man sich in einem Körper einen Punkt, von
welchem jede gerade Linie, sobald sie in die lothrechte Lage
gebracht wird, eine Linie des von den Eindrücken der Schwere
in die einzelen Theilchen des Körpers herrührenden mittleren
Drucks wird; so denkt man den Schwerpunkt des Körpers. Denkt
man sich ein schweres Dreieck A B C , und in demselben aus
zweyen Spitzen A , B gerade Linien A b , Ba gezogen, welche
die entgegengesetzten Seiten B C , A C halbiren, so liegt der
Schwerpunkt sowohl in der Ba als in der A b , also in ihrem
Durchschnittspunkte x, und die Geometrie giebt
9. ) B x = | Ba, A x = %Ab
Wäre nun A B C D F ig.4 ein schweres Trapez, und die Diagonale
A C in a in zwey gleiche Theile getheilt, hierauf B x = f Ba,
und Dy = § Da genommen , so fällt der gemeinschaftliche
Schwerpunkt dieser beyden Dreyecke in die gerade xy z. B. in v|
und wenn des Dreiecks A B C Inhalt = n2, des Dreiecks A C D
Inhalt = b2 gesetzt wird , so ist vermöge- (§. 1. Nr0‘ /j.).
. xy. b2
10. ) X V a2 h 2
und hierdurch also der Schwerpunkt v des ganzen Vierecks bestimmt.
So giebt sich der Schwerpunkt von jedem Viereck, das man
als schwer betrachtet.
Der Schwerpunkt eines Prismas liegt zwischen den Schwerpunkten
beyder Grundflächen in der Mitte. Daher läfst sich der
Schwerpunkt von allen prismatischen Körpern auf diese Weise
bestimmen.
§■ 7. Aus dem Vorstehenden ergeben sich sehr leicht die
verschiedenen Pressungen eines Körpers auf einer schiefen Ebene,
und die Bedingungen , unter welchen er durch eine andere Kraft
auf der schiefen Ebene ruhig erhalten werden kann. W e il es
genug ist, nur des Körpers M (Fig. 5.) Schwerpunkt m zu betrachten,
so genügt es auch, hier statt der schiefen Ebene blos die
Hypothenuse A B über der horizontalen Grundlinie A C des rechtwinklichten
Dreiecks A B C zu betrachten , unter der Voraussez-
zung, dafs B A C den W inkel bezeichnet, welchen die schiefe Ebene
mit dem Horizont macht. Aus der Zerlegung der Kräfte (§. 4 -)
ergiebtsich nun, wenn des Körpers M Gewicht = P ist, und
nun das daraus entstehende senkrechte Streben nach mn — S und
das der Ebene parallele Streben nach n o = .p gesetzt w ird ,
1 1 . ) S = P. cos. A.
IV. Band. 16.