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Concevons que l’on continue de soudiviser lé
premier octaèdre EP ( f g - 83 ) i pardescoùpes
parallèles aux précédentes , et placées, entre ces
dernières, à des distances égales ; chaque octaèdre
se résoudra en six nouveaux octaèdres ,
plus huit tétraèdres , et chaque tétraèdre en
un octaèdre , plus quatre tétraèdres ; de manière
que tous les octaèdres d’une p a rt, et tous les
tétraèdres de l’autre seront égaux chacun à chacun,
et que, de plus, les faces des octaèdres seront
égales à celles des; tétraèdres.
i 5i. Les nombres de tétraèdres et d’octaèdres
donnés successivement par ces différentes divi4-
sions forment deux séries récurrentes , dans cha*-
cune' desquelles il est aisé d’avoir l’expression
générale d’un terme quelconque.
Désignons par A , B , C , D , e tc ., la série relative
aux tétraèdres , et par a , b , <?, d , etc.-,
celle qui concerne les octaèdres.
Nous aurons A = 8. a — 6.
B = 4 A - j - 8 a = 8o.7 pÉ 6a-\-A = 44*
C = 4 B -J- 8b =672.0 = 6b -j-B =344» etc.
Et mettant les deux séries l’une sous l’autre ,
A B C D „ E
8. 80. 672. 5440, 43648, etc.
a b c d e
6. 44. 344. 2736. 2i 856, etc.
Evaluons d’abord un terme quelconque de la
première série. J’observe que B — 82 -f- 2. 8 ,
c’est-à-dire ; qu’on l’obtient en multipliant le
premier terme A par 8, et en ajoutant 2. 8. Je
multiplie de même le second terme par 8 , ce qui
me. donne 83 -|- 2. 8% ou 640, dont la différence
avec le troisième terme est 32 ou 4- 8.! Je; vois
qu’en continuant, je puis mettre la série sous
cette nouvelle forme.
A B C D
8\ &■ -j- 2 • 8. 83 2 • 8’ 4 • 8. 84 -J- 2 • 8*
+ 4 -«‘ + »-8. etc., c’est-à-dire, qu’en désignant
par n le rang du ternie dont on cherche l’expression,
on a, 8a-|-2*8I4“ I-|-2s,*8Q-2-|-2 3'8 Il-3....4.
-j- 2n_I. 8a-ill-x),- ou 2n_I • 8.
Or lés parties de be terme étant prises dans
Un ordre renversé ; forment une progression géométrique
croissante, dans laquelle le premier
terme a = 2n_I • 8 , le dernier terme a === 8n,
et le quotient q = 4.
Donc nommant j la somme, qui est la quanqu
— a 4'8n—S'a"'1
tité cherchée, on aura, s =
y VU UU1 U y ü. " 1- --------
4-8» — 4 -
q — l
3 — = 1 ( 8 “ — 2” >
D’une autre part j’observe que chaque terme
de la série inférieure , relative aux octaèdres, est
égal à la moitié du terme correspondant de la
série supérieure relative aux tétraèdres, plus à 2n.
Donc désignant par sf le terme du même rang
que S f nous aurons s r= £ ,s - |-2n= § ( 817L— 2n)-|-a a