arêtes, lorsqu’ils sont tous réunis; et comme
les points qui se correspondent sur toutes ces
arêtes sont à des distances égales du centre,*
le solide qui résulte de leur retranchement doit
avoir toutes ses faces semblables et disposées
régulièrement autour du même centre.
123. On peut aussi faire dériver le triacontaèdre
de l’icosaèdre régulier, èh tronquant celui-
ci sur toutes ses arêtes , d’après les mêmes conditions.
Nous donnerons, dans la suite, une autre
construction du même polyèdre , à l’aide d’un
cube pris pour générateur.
1 24. La recherche des angles du triacontaèdre
symétrique, dpnt nous allons maintenant npus
occuper, servira à développer plusieursj propriétés
intéressantes de ce solide. Mais il faut,
auparavant, déterminer un rapport qui npus
est nécessaire pour cette recherche. Soit biab'p
Cjfîë' ) un pentagone régulier , . et in le côté
du décagone régulier circonscrit à ce pentagone.
Menons la diagonale ap , la ligne b\ 71
qui passe par le centre, puis le rayon c i divisé
en moyenne et extrême raison au point
d , et enfin ¿/'perpendiculaire sur in. le rapport
que nous avons à déterminer est celui de
c i à in.
Soit c i= r. c d ~ in .== x. Nous aurons di — r
— X } et r : x : : x : r — x . Donc x * = r’ — rx 3
d’où l’on tire , x = — j r y 5. Et prenant
le signe positif , x = | r \ / 5 — | r.
Concluons de là que ci : in :: r ¡ ¡ r y â
— | r : : 2r : r \/5 — r : : 2 : \/5 — 1, ce
qui est le rapport que nous nous étions proposé
de déterminer.
125. Cherchons d’abord les angles de chacun
des rhombes du triacontaèdre. Concevons
un plan coupant aUpbi(jigÇ>5) , qui intercepte
la pyramide pentagonale, dont le sommet est
en Soit bfsb ( Jig. 67 ) cette même pyramide.
Menons la hauteur s c , les deux rayons c i , c b ,
puis sr perpendiculaire sur b i , et enfin cr.
Le triangle isb est évidemment la moitié d’un
des rhombes du triacontaèdre. La question se
réduit donc à trouver le rapport entre rs et ir.
Or rs = \/ ( c r y -|- ( es )\
X
Maintenant, il est facile de voir que pour obtenir
le triacontaèdre , on pourroit aussi poser,
sur toutes les arêtes du dodécaèdre régulier, des
plans également inclinés sur les deux faces adjacentes.
Tous ces plans, en s’entrecoupant, don-
neroient la surface du triacontaèdre. O r , l’inclinaison
de chaque plan sur les deux faces dont
on vient de parler, par exemple , celle du plan
tangent à l’arête pr (Jig. 53 ) , sur les deux pen-
tagonespdnar, pcltr seroit égale à l’angle j k x ,