celle du côté It, et de dégager n , qui, dans le cas
où le dodécaèdre régulier seroit possible, devra .
être une quantité rationnelle.
•jvT j /a n 2— a \ 2 a2 a2 n2 a2 Nous aurons donc ( — ) === '____
\ n2 / 4^4
( voyez io 5 et 108 ). D’ôù Von tire n? — Zn?
= — i s et n — V I — I V 5 , ce qui fait voit
que l’existence du dodécaèdre régulier" est incompatible
avec toutes les lois de décroissement*
dans l’hypothèse d’un noyau cubique.
i iô . Pour miéux concevoir ce que signifient
les deux valeurs que nous venons de trouver
pour n 3 prenons le rapport entre ky : y x , dont <
l’une est le sinus et l’autre le cosinus de la moitié
de l’incidence mutuelle des deux pentagones
pdnar, pcltr. Nous avons ky : y x : : an : a : : n : i.
Et substituant successivement à la place de n ses
deux valeurs , ky : y x y Z y 5 : V 2 > et
ky : y x : : y Z — y 5 : V 2* 1
Ce dernier rapport convient au cas que nous
considérons ic i; l’autre est celui de gk à g l, qui
est l’inverse du précédent.
Effectivement V3-J-V5 : V 2 :: V 2 : V 3— V&y
puisque le produit des extrêmes et celui des
moyens sont égaux entre eux. Le calcul en donnant
une double solution du problème * exprime
que le dodécaèdre est également déterminé en
vertu du rapport de ky k y x et du rapport de
gk agi. C’est ce que l’on concevra encore mieux,
si l’on suppose que les difljerens pentagones se
meuvent sur les arêtes cd,ct, at, ad, etc. (Jig. 53),
du noyau cubique, comme sur autant de charnières;
de manière que les trapèzes cprt et dpra
se relèvent au-dessus du carré adct^ tandis que
les triangles c l t , dna s’abaisseront en sens con--
traire ; et ainsi des autres pentagones. Il est facile
de voir que pendant ces mouvemens, les arêtes
pr, om, en, etc., iront tpujours en diminuant de
longueur, et finiront.par se réduire à un point;
et si au-delà de ce terme les mêmes mouvemens
continuent, il se formera de nouvelles arêtes
qui seront situées à angle droit par rapport aux
précédentes ; pr, il y aura une époque où le
dodécaèdre sera encore régulier. Alors chaque
trapèze cprt se trouvera transformé en un triangle
semblable à clt, et réciproquement; d’où il suit
que le rapport g# agi ( Jig. 54 ) prendra la place
du rapport ky k y x .
Le calcul donne pour là valeur de Tangle kxy,
dans le cas du dodécaèdre régulier , 58d. i6 r 46";
et ainsi les incidences mutuelles des pentagones
soiit de n 6 d. 33' 32".
i i i . Si l’on cherche le rapport, en nombres, de
ky k y x , à moins d’un millième près, on trouve
ky :y x : : o , 707 : o , 4^7 > par où l’on voit combien
seroient compliquées les lois de décroiss©-
T om e I. D d