de la base , ensuite la hauteur su 3 , puis s x
perpendiculaire sur pm , .et joignons les points
u 3 x , par une droite.
De plus 3 le rhombe l'o 'k'm ' étant le même
qu e^ -. 59, menons les lignes mm' 3 mo1 {Jig. 62 )
qui seront aussi les mêmes que Jig. 5g , ensuite
la ‘ diagonale o'm' du rhombe Vo'k'm' , et
enfin la ligne mt qui rencontre m'o1 à l’endroit
où celle-ci est coupée par la hauteur su. Cela
posé , cherchons successivement les trois angles
rriem ( Jig. 5g ) , rril'm et l'm e , dont la somme
retranchée de 36od. donnera le quatrième l'm'e.
i° . Pour mrem. La pyramide mmim"e pouvant
être considérée comme la moitié supérieure
d’un rhomboïde dans lequel le rapport
entre les deux demi-diagonales g r et p ' , tel que
nous l’avons trouvé plus haut J est celui de \/ t &
à V 7 î on en conclura que miem'= 1 16d. 6r i3".
20. Pour rriVm. Cet angle étant le supplément
de m'Vs ou de pms {Jig. 62 ) , il s’agit
de trouver celui-ci.
Soit pu — 2. Nous aurons mu = 1.
pu x mu — .
u x = - j= = = = ~ = = = = — Y f. Mais le triangle xus
v ( p u Y + (. mu Y
est semblable au triangle mensurateur arz {Jig. 64).
Donc ux : us ( Jig. 62 ) : : 3 : V~5- Donc
puisque ux = Y f ? nous aurons us '= Y f j
mais , d’une part , s x — Y ( ux ) 2 -f- ( **&§*
D E M I N É R A L O G I E . 431
= V f -}- f — V f f • D’une autre part ,
sm = y ( mu y H“ ( us ÿ == v 1 +» f = v f ^
Donc sm : sx : : Y : V f f : : V 65 : Y 56 ,
ce qui donne smx — 68d. J 16". Donc mil'm
{Jig- 62 et 5 9 ) = 11 i d. 5or 44r/-
3°. Pour Vme. Cet. angle est composé des
deux angles ernm' , m'mV , dont le premier est
la moitié du supplément de miem. Donc emm'
= 3 i d. 56' 53". Cherchons mi ml'.
Les triangles mmim! ' , ô'mq, ayant les mêmes
positions relativement au noyau du triacontaèdre
que les triangles pmn 3 opl {Jig. 56 ) par rapport
au noyau de l’icosaèdre, il est évident que
la position du plan qui passeroit par les points
mi 3 m , o' { Jig. 5g et 62 ) est aussi la même
que celle du plan mpo {Jig. 56). Donc le triangle
mut ( J g . 62 ) est semblable au triangle mensurateur
qui produit la face mpo {Jig. 56) ; et
puisque cette face est le résidu d’une de celles
du dodécaèdre, nous aurons mu {Jig. 62 ) : tu
: : 2: 1 . Mais m u = 1. Donc tu = ±. Donc puisque
us = ^3 l’expression de st sera j.
Or st : mit :: us : pu. O u , f : mit :: f : 2.
Donc m't — \. mt — V ^ p ^ / p = V ^ - p
= V f . mm' = V ( r n tÿ -Ç {m^ty — V | " + I
= V f* Mais sm = V r * Donc mm' : sm :: V I
: Y ^ t • '* V 27 *• V 2^. Maintenant si dans le