lions g s , sn qui soient entre elles dans le rapport
des lignes g r k', g ' l ' ( j fig. 69 ), On prendra
nm {Jig. 68) égale h sn , et l’on tracera sui ms
un rhombe misb, dont cette ligne soit la grande
■diagonale , et dont la moitié in de la petite
diagonale soit égale à gs. Ayant tracé des
rhombes sur les autres faces , d’après les mêmes
conditions, on fera passer par chaque côté ^ tel
q u e é r,sr , un plan coupant qui aille toucher
l’angle aigu 5 du rhombe situé sur la face voisine.
Les vingt-quatre plans coupans joints aux six
rhombes tracés sur les faces du cu b e , donneront
la surface du triacontaèdre.
Pour le prouver , je remarque d’abord que
&1 k' { fig - 69) ou am ( 66 ) représente gk
( fig- ^4 ) » qui €St différence entre l’arête du
dodécaèdre régulier et celle du cube inscrit (1).
De plus, k ' V { J g. 69) ou son égale gb’ { fig . 66)
représente k l {fig. 53 et 6 4 ) . Donc le triangle
g 1 k 'I ' {Jig. 69 ) est semblable au triangle gkt
{fig- .54 )• Donc g 'V {Jig. 69 ) : g' k’ : : g l
( fig- 54) : gk '• ky - j x - : V 3 + V 5“: V ' â , ce
qui est le rapport que doivent avoir entre elles
les deux demi-diagonales de chaque rhombe du
triacontaèdre , et qu’elles ont effectivement par
la construction,
(1) Je suppose que, dans le cas présent, la fig. 54 rç-î
présente la coupe d’un dodécaèdre régulier,
Menons b' s {fig. 68). Nous avons b' g = n ' s ' ,
e t g î = b 'r i ; d’ailleurs, l’angle b' gs est droit;
donc les deux triangles b1 gs et s 'n 'b ' sont
égaux ; donc b' s = b' s ' , comme cela doit ê tre ,
puisque b’s répond à la même ligne {fig. 65 ).
On prouvera de même que la ligne q u i,
dans le cube { Jig. 68 ) , répond à w" ( fig. 65 )
est égale à celle qui répond à i s , et que de
même les lignes qui répondent à i" s 1 et i 11 s "
sont égales entre elles.
En raisonnant des autres lignes comme de
celles qui leur correspondent dans le cu b e ,
il est facile de voir que b's est dans un plan
parallèle à b "m " i " s " . De plus, à cause de nT,s n
{fig. 68) : n " i” : : b 'g \gs , et du parallélisme
entre les antécédens d’une part et les conséquens
de l’autre , br s {Jig. 65 ) et i ” s " sont parallèles ;
donc les deux plans b’sas' , i" s 'a s " se réunissent
sur une arête as' parallèle à b's et i"s".. On prouvera
de même que b's'as et ius'as se réunissent
sur une arête as parallèle à b's' et w " , et que
les plans asis" et a s '¿ " s " se réunissent sur une
arête as11 parallèle à w e t i" s '. Donc les trois
plans situés autour de l’angle a sont des rhombes.
D’où l’on conclura, en appliquant le même raisonnement
aux autres lignes, que la surface du
polyèdre est composée de 5o rhombes égaux et
semblables entre eux.