Du point d je mène d r perpendiculaire sur
l ’axe a s , et du point g je mène gn , de manière
qu’étant aussi perpendiculaire sur l’a x e , elle se
prolonge jusqu’à la rencontre de ad. Il est clair
que son prolongement tombera au milieu de ad.
Car si je mène les diagonales f g et b g (fig. 9 ) , la
ligne entière gc qui est la même que fig. 10, sera
couchée sur le plan bfgÇfig. 9 ) , qui passe par
le point c. On conçoit aussi que la partie en qui
est une perpendiculaire menée du centre du
triangle équilatéral b f g , est la moitié de la
partie g n qui va du centre à l’un des angles du
même triangle. J’appellerai g n a. l’avenir la perpendiculaire
sur l’a x e , et e n , la demi-perpendiculaire
sur l’a x e .
3o. Il est facile maintenant d’exprimer en
fonctions de g" et de p , l’une quelconque des
arêtes du rhomboïde, la perpendiculaire sur l’axe
et cet axe lui-mênre.
1 ° .a b ( fig. 9) — y/ ( b c )a + (a e )a = \ f g* +p*.
Donc telle est l’expression de l’arête.
2°. L e côté b f du triangle équilatéral b f g
étant désigné par 2 g, la ligne c g qui va du centre
à l’un des angles, ou ce qui revient au même
la perpendiculaire sur l’a x e , aura pour expression
y /^ g2, d’où il suit que la demi-perpendiculaire
sur l’axe est égale à \/ j g 2.
3°. Remarquons que les perpendiculaires gn
et d r (fig. 10) divisent l’axe en trois parties
égales. Car les triangles semblables a c n , a d r
donnent ad : a c : : a r : an. Or a d = 2 a c .
Donc a r — 2 a n. Donc an — nr. De plus , les
triangles d s r ,g a n étant semblables et égaux,
on a rs — an. Donc a n — n r— r s.
Maintenant a n = y /(a c)a— (c n ) *= y/p *— J g*.
Donc en triplant cette expression, on aura ( 1 )
as — 5 V > a — i g" — V ~9 P*—1 V 9 P*— 5 g*-
31. Proposons-nous encore, avant d’aller plus
lo in , de résoudre le problème suivant. Etant
donné les deux demi-diagonales g et p , déterminer
d’une manière générale trois espèces d’angles,
savoir les angles plans du rhomboïde, les
incidences respectives de ses faces, et les angles
de sa coupe principale.
i°. Pour les angles plans, soit menée am
(fig. 9 ) , perpendiculaire sur d f , et qui sera le
sinus de l’angle a f d , e n considérant a / comme
le rayon. Cherchons le rapport entre a f et le
cosinus f m.
(1) Il sera bon de retenir cette expression de l’axe , ainsi
que celle de l’arête qui est l/é'2+ P 2> et ce^e de la perpendiculaire
sur l’axe , savoir y/ parce que comme ces
expressions reviendront à chaque instant, dans l’exposé
de la théorie, nous nous dispenserons d’y mettre des numéros
de renvoi.