que le premier carré composé de quatre petites
diagonales se meuve parallèlement à lui-même
le long de l’axe qui va de e en p , jusqu’à ce
qu’il coincide avec le plan du second carré composé
de quatre grandes diagonales. Il est clair
qu alors le point jy se trouvera placé au milieuyr
de la diagonale /o, le point b au milieu b1 de la
diagonale o t , le point r au milieu r1 de la diagonale
t n , et le point d au milieu cF de la
diagonale ni. Donc le premier carré sera inscrit
dans le second; donc la grande diagonale
est a la petite , ou , ce qui revient au même ,
g est kp comme le côté du carré circonscrit est
au côté du carré inscrit, c’est-à-dire, comme
V a à l’unité.
Donnons une seconde solution par l'analyse.
Ayant mené y x et gz perpendiculaires l’une
sur g l et l’autre sur I f , il faudra que l’on ait
y x — gz. Considérons le pointj- comme le sommet
d’un rhomboïde; l’expression deyx s e r a f/
I 8z+p*
(voyez 3i , I o.), mais les six rhombes d lfn , glfp ,
°gph ■> e tc ., adjacens aux bords inférieurs du
rhomboïde, étant situés comme les six pans d’un
prisme hexaèdre régulier , si l’on fait passer par
g z un plan perpendiculaire au rhombe glfp, ce
plan interceptera un hexagone régulier dont le
coté gz sera égal à la perpendiculaire menée du
point g sur l’axe du rhomboïde, puisque celle-ci
d e M I N É R A L O G I E . 455
est un des rayons obliques de l'hexagone. Donc
. ] / 48'P* — ' ___ | g \ Donc aussi |/ g pz " 86
S u p p r im a n t le s r a d ic a u x e t d iv is a n t p a r 4 ,
P* — if Donc g ' P' ^ ’ e* *
g* + P.' _
d’où l’on tire g : p 4V* : « , “ V * est le
même rapport que ci-dessus.
142. Il est facile de démontrer encore que
les faces de chaque tétraèdre sont des triangles
isocèles égaux et semblables. Car soit e g ( fg - 7 )
le rhomboïde qui a son sommet en y ( f i g 75 )*
Ayant mené l’axe oy et les petites diagonales
y g , c l des rhombes y / g o , g c d f considérons le
tétraèdre qui a pour faces les triangles y/g 5 CJ/ ?
cg i, Cyg. Dans le premier, nous avons évidem-
menty l =* g | Le 2*. a un côté commun y l avec
le précédent ;, de plus c l = yg- Mai£ la xe W
^ S V 3 ; ^ n e antre
p a r t , y l == V T T ? U V 3’ Donc 7 1 0ïl
voit aisément, sans qu’il soit besoin de le prouver,
que chacun des deux autres triangles est égal et
semblable à l’un quelconque des deux premiers.
A le g a rd des incidences respectives des faces
adjacentes sur le dodécaèdre , il est visible qu’elles
sont toutes de I2 0 d.
143. Supposons des déeroissemens par une
simple rangée de rhomboïdes sur toutes les arêtes