Nous ayons déjà a f = y/ g* -¡_ p*.
Reste à trouver fm .
O r , a m = Í £ 2 ¿ — . / H Z .
df V g^-rP*
Donc fm ou y . i« / y - ( ¿Z777 )
\ / é
4 ë2 p5
= v/:g - 4 _ 2 £ “ p» + p i ,
ë2 + Pa
d’où l’on conclura que «y* : y 772 : : g2 + p* :
rh g 2 + /?% les signes supérieurs du dernier terme
appartenant au cas où le rhomboïde est obtus ,
et les signes inférieurs à celui où le rhomboïde
est aigu.
L e résultat précédent nous offre une propriété
remarquable du rhomboïde. Elle consiste en ce
que dans cette espèce de solide le cosinus du
petit angle plan est toujours une quantité rationnelle
, pourvu que les carrés des expressions des
deux diagonales soient eux-mêmes des quantités
rationnelles.
20. Pour les incidences mutuelles des face^ *
par exemple, pour celle de a b d f sur d fq s .
Soit menée du point m la ligne mi perpendiculaire
sur d f et prolongée jusqu’à la rencontre
de la diagonale f s. L ’angle am i mesurera l’inclinaison
cherchée, et a i sera le sinus de cet
angle, en prenant am pour le rayon. Cherchons
aussi dans ce cas le rapport entre le sinus total
et le cosinus, c’èst-à-dire entre am et im.
/ f i Nous
Nous avons déjà eu am — % / 4 g*P%
V 8*+p"
Reste à chercher i m , mais il faut auparavant
trouver ai.
Soit menée ak (Jig. 10 ) perpendiculaire sur
g s , et qui sera égale à ai (Jig. 9 ).
■mr f § d X CL S y ’ V" ' / 1 1
Nous aurons, a k == — - — = ï / f ë 2(9P2— 3ë2) V 4 P* g*
3 g* p *— g‘c , --------- = a i .
D’où Fon conclura que am : ai : : i / 4p
V m 4
; ^ ë ~. Donc am : im : ; 1Ç /
g1 +p*
4 p*
ê • -Fi/rt
: \ /
rhomboïde est a ig u ,1e rapport sera a m '. im ::
zp*:p*— g* (1).
On voit ici que la propriété relative à l’expression
du cosinus, sous une forme rationnelle,
qui a lieu pour les angles plans, s’étend à ceux
qui mesurent les incidences des faces.
3°, Pour les angles de la coupe principale.
(1) Dans ce cas, le sinus a i se rejettera en dehors du
rhomboïde, en conséquence de l’angle obtus que feront
alors les deux faces a b d f , d f <f s , et l ’on aura le supplément
de cet angle, c’est-à-dire, l’incidence des faces à
l’endroit des arêtes contiguës au sommet. -V
T ome I. y *