: a r : : an : a. Cherchons* l’expression générale
de H. Nous ayons li = ky— 2 (gk) — a— 2 igk\»
Or les triangles semblables Igk , kyx donnent
ky : j x il Ig \ gk. Maïs ky = \a. y x m /g..
Je S : : : ky ’.yx. Ou , an : a : : \a \ y x = — .
2 n>
Donc la proportion ky : y x : : Ig : gk devient
I ¿ a : —^ : : —^ : gk1 —_ —^ . TD\ onc h7. == a ^*
2.TI 2>U 27Î2 7i2
= = p r { f g - 53 ).
106. Si l’on fait n = 1 , on trouve pr = j '
c’est-à-dire, qu’alors la base des pentagones s’évanouit
, et que le cristal devient un dodécaèdre à
plans rhombes égaux et semblables.
107. Si l’on fait n — 2, on trouve p r— ^a, ce
qui est le cas du fer sulfuré dodécaèdre. D’après
cela, il est bien facile d’exécuter artificiellement
ce dodécaèdre, par des coupes faites dans un
cube donné (j%. 52 ). Ayant tracé les lignes g f 3
ë f f 1 3 et celles qui leur correspondent
sur les faces opposées, on prendra sur chacune
de ces lignes, telle que g f3 une portion om3 de
manière que l’on ait gm ou o f — | ( gj"). Ensuite
on fera passer par om deux plans -Coup ans,- dont
l’un ira rencontrer l’extrémité né! de la ligne
ou m", et l’autre celle de la ligne seinblablement
située sur la face opposée kkdah. On fera passer
de même par or mr deux plans, dont Tuir ira
rencontrer l’extrémité m de la ligne om, et l’autre
celle de la ligne correspondante sur la face opposée
à cdat. Ce qui reste à faire se présente de soi-
même. On aura ainsi douze plans coupans qui
mettront à découvert le dodécaèdre proposé.
108. Cherchons maintenant le rapport entre
la base pr {Jîg. 53 ) de chaque pentagone et l’un
des quatre autres côtés, tel que It. Nous avons déjà
pr = f a. Mais It = V j 7k ) z -{- ( îd ) \
tk = ki = y ( ig y -j- (gk y ( Jg. 54 )
a2 a2 n2 -f- a2
4 a2 » 4 n* V 4 n:4
Donc l t = 1/ - 4 - — l / £ ^ ± f ! £ ± £
4 V 4«4 , v •
a . /— r» ^ 3 a a — — . _
= g V 21 • Donc pr : It wy f : - y 21€: y 12: y y.
Quant à la détermination des incidences mutuelles
des faces et de leurs angles plans, elle est
si facile, qu’il seroit superflu de noiis y arrêter.
109. J’ai remarqué ailleurs que de célèbres'
naturalistes avoient pris le dodécaèdre qui nous
occupe ici pour celui de la géométrie, dont tous
les pentagones sont réguliers. On pôurroit demander
si parmi toutes les lois imaginables de
décroissement il n’y en auroit pas une qui fût
susceptible de produire ce dernier dodécaèdre.
Pour résoudre la question, il suffit d’égaler la
valeur de la base pr de l’un des pentagones à