dont le complément kxy mesure la moitié de
l’incidence de ces pentagones l’une sur l’autre.
Donc si nous considérons aibpb} ( Jig. 67 )
comme un des pentagones du dodécaèdre q u i ,
dans le cas dont nous venons de parler, seroit
inscrit au triacontaèdre, l’angle ers sera égal à
l’angle y k x ( Jig. 53 ) ; et par conséquent le
rapport entre cr et es est censé connu. Donc
ayant la valeur de cr } on trouver oit aisément
celle de e s , et par suite celle de rs. Le problème
se réduit donc à chercher cr et ir. Com-
I - - , 1 . g ■ - ' ■
mençons par cette dernière quantité.
Nous avons eu ( 1 2 4 ) ( f i g- 66 ) , ci : m
:: 2 : \/5 -— 1. Faisons c i — 2 , auquel cas
nous aurons in = \/b — 1. De plus, c f étant
perpendiculaire sur in, on aura (ir)2= - — — •
O r , nous connoissons déjà in et de plus en qui
est égale à ci. Reste à chercher cf. (cJ f — (pif
— a r y = - %*(»)■=4_ - 1 c-6 - )
= 4 — S + Î V 5 = ! + i V 5-
Donc # 1 = ({ + ^ 5) ( 6- ^ ) = 5 - ^
4 a
et ir == lr —— 1-F. Maintenant il est facile d’a-
2
voir cr. Car c r= \ / ( c iy— (ir)2 = | / 4—
= y Mais, d’après ce qui a été dit
2
plus haut, cr : es (Jig. 67 ) ky (Jig. 53 )
y x :: V 3~-j- i/5 : V 2 ( v °jez u o ). Don®
I / l ± j 5 : es : : %/3 + : V 2- Donc es
2 #
= 1 = i (ci). Propriété remarquable qui peut
être utile pour mettre le triacontaèdre en projection.
Il ne s’agit que de tracer le dodécaèdre
régulier, puis d’élever au centre de chaque face
une perpendiculaire es moitié de c i , après quoi
on tirera les lignes s i , sb , sp , etc., qui seront
les côtés des rhombes du triacontaèdre.
Maintenant rs='\/(cs)2- ) ç - ( c r y = Y 1 -f ^
2
= Y 5 + K5. Donc rs : ir : : Y — r 2 r 2 •
: Y 5 : * V 5 4 - 1/5 : V 5~— v/5* Mais ce
2
rapport est le même que celui de ky. y x (Jig. 53 )
ou de V 3 - f i/5 : V 2* Car si l’on met ces deux
rapports en proportion, et que l’on prenne le
produit des extrêmes et celui des moyens, on
trouvera , de part et d’autre, 'V/io 2 v/5*
Concluons de là que le grand angle du rhombe
est égal à l’inclinaison respective des faces du
dodécaèdre régulier , qui peut être regardé ,
ainsi que nous l’avons vu , comme le générateur