7 <»,3 R À C
Ainfi. fi l’équation eft a ' 4 b* = ** , la taci'ne de T é - ’ :
filiation eft la racine quarrée de a *+i* ,a in fi \A
C ’eft une v é r ité reçue en A lgèb re , qu’une équation
a toujours autant de racines, qu ’il ÿ a d’unités
dans la plus haute dimenfion de T inconniie ; par
exemple , tme équation p i deuxieme degré a d'eux
racines »une du troifieme en a trois : ainfi l’équation
x - = a* 4* ’V , que nous venon s de donner , a deux
racines ou d eux valeurs de x ; fa vo ir * —4 V/* a 4
& x == — V a 1 4- À*. Cette prop r ié té générale des
équations peut fe démontrer de la maniéré luivante.
Soit x " 4- a x n + 1 - \ - b x y . 1 4 • • • • ƒ* = i , une
équation l’inconnue d’un degré quelconque ; S i foit c une valeur
de l’équation,x , telle que lubftituant e au lieu de x
dans tous les.termes fe detru.fent par des
lignes 4 pi co n tra ire exactement s , je dis que x n 4 a x b x Q .. .. *fe divifera par x — c.C a r foit le
quotient de.cette d iv ifio n , le re lie r , s’il y en a un ,
ne contiendra point de x , puifque .r ne paflé pas le
p remier degré dans le d ivileur , S i on aura (x — c)
égal S i identique jk x n - \ - a x " 4mb x -v. v,;«
4- p . D o n c fubftituant c p our x dans 8c ( x — c ) x Q - f r-,
tous les termes doivent fe d é truire , le réfultat être
c = o . D onc cette fubftitution donnera ( c — c ) x Q 4 r
r= o S i /■ = 6. D o n c la d ivifion fe fait lans re lie .
On aura donc un quotient x n ~ l + A x n ~ * 4 5
x n ~ J 4 - . . . . 4 P . E t s’ il y a une petite quantité C
qui étant lubftituéé par x dans ce quo tien t, fafle év a nouir
tous les te rm e s , on p rouv era de même que ce
quotient p eutfe divife r exa&ement par x —c. E n continuant
a in fi, on trouve ra que la quantité x n + a
x n ~ 1 4 b x , & c . peut être regardée comme le
produit d’un nombre n d’ équations fimples x — c ,
x — C , x — D 9 x — E , &c. D o n c puifque x 4 a
x " ~ 1 4 b x " “ 1 ____&c. == o , on aura x — c x x — C
X x — D x x — E , S ic . = o. O r ce produit fera = o
dans tous les cas fuivans : i ° . x x = c ; z 0. x — C ;
3 ° . x = D ; 4 °. x = E , &c . D o n c x a autant de v a leurs
qu’il y a de faéleurs lin éaires x —c x — C 9 Sic .
c ’eft-à-dire autant qu’il y a d’unités dans n.
A u re lie , il ne faut pas cro ire que toutes ces v a leurs
O n les diftingue en v r a ie s , fauftes , 8c imaginaires.
l’oient ni toujours ré e lle s , ni toujours pofitives.
Racine vraie. S i la v a leu r de x eft p o fit iv e , c’eft-à-
d ire fi x eft égale à une quantité pofitive ; par exemp
le , fi x = r , la racine eft appeliée racine vraie ou p o fitiv
e . Voye{ POSITIF.
Racine faujfe. S i la v a leu r de x eft n é g a tiv e , par
exemple fi x = — 5 , on dit que la racine eft fâufle ou
négative. Voyc[ N é g a t i f . Par e x em p le , l’équation
x x 3 x — 10 — o , a deux racines, l’une v r a ie ,
l’autre fa illie , favo ir x = 2 Ô i x = — 5.
Racine imaginaire. S i la v a le u r de x eft la racine
quarrée d’une quantité n é g a tiv e , p a r e x em p le , fi
x = — 5 , on dit alors que la racine eft imaginaire.
C’ eft ce qui a rr iv e dans l’équation x - x 4 5 = 0 ,
qui a deux racines imaginaires x = 4 Y ^ ~ 5 , & x =
— 1 / — 5. Si on multiplioit l’ équation x x 4 5 = o
p a r l’équation x x 4 3 * 4 ^ 1 0 = o , on formeroit une
équation du s4|/quatrième — &d e g r é , qui auroit deux racines
im ag ina ire 5 — y / 8c —5 , deux racines
ré e lle s , l ’une v ra ie 4 2 , l’autre faufle — 5.
D an s une équation quelconque, les racines imaginaires
, s’ il y en a , font toujours en nombre pair.
Ce tte propofition allez mal démontrée dans les liv re s
d ’A lgèb re , l ’eft beaucoup plus exactement dans une
difl’ertation que j’a i imprimée au tome II. des Mém.
françoïs de Vacadémie de Berlin. Voye£ aufii IMAGINAIRE
& E q u a t io n . D e là il s’ enfuit que dans toute
équation d’un degré impair, il y a au-moins une racine
réelle.
R A C
L*À5gebfe eft principalement d’ufi'.ge pour mettre
les problèmes en équations, 8c enluite pour réduire
ces équations $ ou les prélenter dans la forme la plus
l'impie qu’elles puilfent avoir. Voye{ RÉDUCTION. •
Q u a n d l ’é q u a t io n e ft r é d u it e à la formle la p lu s fim-
p l e , i l 'n e r e ft e p lu s , p o u r a c h e v e r la lo lu t io n d u p r o b
lèm e , q u e d e c h e r c h e r p a r le s n om b r e s o u p a r u n e
c o n f t r u â io n g é om é t r iq u e ., le s ra c in e s d e l’ é q u a t io n .
Voye{ E q u a t io n 6* C o n s t r u c t io n .
M. l’ahbédeGua , dans le.smérnoircs de l'academie
royale des fciences de Paris, année 17 4 1 , nous a donne
deux excellentes diflèrtations fur \zs racines des équations.
Le premier de ces mémoires a poiir titre
Démonjlration de la réglé de Defcartes pour connoitrele
nombre des racines pofitives & négatives dans les équa-t
lions qui n ont point de racines imaginaires ,* nous allons
rapporter en entier l’efpece de préfac.e;que M.
l’abbé de Gua a mife à»la tête de cet ouvrage : elle
contient une difeuflion hiftorique tres-intereffante.
« Defcartes, ditM. l’abbé de Gua , a donné fans
» démonftration , à la pag. to8. de f a géométrie, édit.
» de P a ris, année t y o5, la fameufe réglé que j entre-*
» prens de démontrer. On connoît de c e c i, dit cet
» auteur, combien il peut y devoir éz racinesvraies 8c
» combien de fauftes en chaque équation ; à favoir ,
» il y en peut avoir autant de vraies que les lignes 4
» & —s’y trouvent de fois être changes, 8c autant de
» fauftes qu’il s’y trouve de fois deux lignes 4 > ou
» deux fignes — qui s’entrefuivent, &c.. . :
» C e s m o ts i l peut y avoir>que D e f c a r t e s r é p é t é d e u x
» f o is dan s c e t t e p r o p o fi t io n ,é v it a n t a u c o n t r a ir e c o n -
» ftam m e n t l’ e x p r em o n i l y .a , m a rq u e n t a f fe z q u ’i l n ’a
» p a s r e g a rd é la r é g lé q u ’ il a v o i t d e c o u v e r t e , c om m e
>» a b fo lum e n t g é n é r a le ,& q u 'i l a v u a u c o n t r a ir e q u ’-
» e lle d e v r o it fe u lem e n t a v o i r l i e u , lo r fq u e le s raci-
» ««s q u e le s é q u a t io n s p e u v e n t a v o i r fe ro ie n t to u te s
» r é e l le s » . M . l’a b b é d e G u a p r o u v e c e tt e v é r i t é p a r
d ’a u t r e s e n d ro it s d u m êm e o u v r a g e , 8c i l a jo u t e :
« c e t a u t e u r s ’e f t e x p liq u é , lu i-m êm e d an s la fu ite d e
» c e p o in t , d’ u n e m a n ié r é p r é c i fe . Il-t ro u v e c e t t e e x -
» p l i c a t io n d a n s l a l x v i j . le t t r e d u t ro if iem e tom e . S a
» fé c o n d é o b je é l io n , d it D e fc a r t e s d an s c e t t e le t t r e ,
» e n p a r la n t d e F e rm â t , e f t u n e fk u fle t é m a n ifè ft e ;
» e a r je n’a i p a s d it d an s l’a r t ic le 8 . d u t ro if iem e l i y r e
» c e q u ’ il v e u t q u e j ’a ie d i t , à f a v o i r q u ’ il y a au tan t
» d e v r a i e s racines q u e le s fig n e s 4 & — fe t r o u v e n t
» d e fo is c h a n g é s , n i n ’a i e u a u c u n e in t e n t io n d e le.
» d ir e : j ’a i d it fe u lem e n t q u ’ il y e n p e u t a u tan t a v o i r ,
» 8c j ’ a i m o n t ré e x p r e f f ém e n t , art. ty . du I I I . Liv.
» q u a n d c ’e ft q u ’i l n’ y en a p a s t a n t , à f a v o i r , q u a n d
» q u e lq u e s -u n e s d e c e s v r a i e s racines fo n t im a g i -
» n a ir e s : »;
Quelque nombre de difciples& de commentateurs
qu’ait eu,ce grand géomètre dans l’efpace deprès d’un
fiecle , il paroît néanmoins que perfonne, avant M.
l’abbé de Gua , n’étoit encore parvenu à démontrer
la réglé dont nous parlons.
C’eft fans doute le x lj. chapitre du traité d'Algèbre
de Wallis, qui a été Poceafion de l’erreur de M. Wolf
& de M. Saunderfon, qui attribuent l’un & l’autre
Pinvéntion de cette réglé à Harriot, algébrifte an-
glois. On n’ignore pas que Wallis n’a rien oublié dans
cet ouvrage pour arracher en quelque façon à Viete
& à Defcartes leurs découvertes algébriques , dont
il fe plait au contraire à revêtir Harriot Ion compatriote.
« Pour réfuter Wallis, fiir l’article dont il eft prin-
» cipalement queftion , nous ne nous fervirons ,
» continue M. l’abbé de Gua, cjue du témoignage de
» Wallis lui-même, & de Wallis parlant dans le mê-
» me ouvrage. Il contefte, dans l’endroit que nous
» venons de citer, que la réglé pour le difcernemenc
» des racines , appartient à Defcartes ; plus bas ,
» au ckap. Ixiij. pag. z tâ . il continue à la vérité de
R A C
» proferire cette réglé à caufe de fon prétendu défaut
» de limitation, mais commençant alors àfe contre-
» dire , il ne fait plus difficulté de la donner à fon
» véritable auteur.
» Wallis au refte n’eft pas le feul qui ait attaqué la
» réglé que nous nous propofons de démontrer.
» Le tournai des favans de l’année 1684 » nous
» apprend , à la page z5o. que Rolle la taxoit auffi
» de fauueté. Le journalifte donne enfuite deux
» exemples de ce genre ; mais dans ces exemples il
»fe trouve des racines imaginaires.
» C’eft ce que remarque fort bien le pere Preftet
» de l’oratoire, dans la fécondt édition des éléiri. liv.
» V II I . p a g . j fo .
» La remarque de Rolle inférée dans le journal des
» favans, & la réponfe du pere Preftet ne pouvoient
» manquer de réveiller l’attention de l’académie.
»Duhamel, qui en étoit alors fecrétaire , fit donc
» mention dans fon hiftoire, de Pobfervation de Rol-
» le ; 8c il ajouta que l’académie ayant chargé Caffini
» & de la Hire d’examiner fa critique , ils avoient
» rapporté que Schooten avoit déjà fait la même re-
» marque , mais que cet auteur prétendoit queDef-
» cartes même n’avoit pas donné fa réglé pour gé-
» néraie.
» Si cette décifion a dû en effet fixer le fens vérita-
» ble de la réglé de Defcartes , n’auroit-elle pas du
» exciter de plus en plus les géomètres à chercher
» une démonftration rigoureuie de cette réglé , au-
» lieu de fe contenter de la déduire par induôion ,
» comme on doit préfumer que Defcartes l’avoit fait,
» ou de l’infpeélion feule des équations algébriques
» par la multiplication de leurs racines fuppofées con-
» nues ? Un lilence fi confiant fur une vérité qu’on
» pouvoit déformais regarder prefque comme un
» principe,&dont cependant on n’appercevoit point
»encore l’évidence, n’étoit-il point en quelque forte
»peu honorable pour les mathématiques»? Nous
renvoyons le lefteur, pour la démonftration de çetre
réglé l au mémoire de M. l’abbé de Gua , qui l’a démontré
de deux maniérés différentes. Voye{ à l'article
A l g è b r e , l’hiftoirë dès obligations que cette
feiençe a aux différens mathémariciens qui l’ont per-
Feôionnée, & fur-tout à Viete & à Defcartes.
R à GINE d’u n n o m b r e , en Mathématique, lignifie
un nombre qui étant multiplié par lui - même rend le
nombre dont il eft la racine ; ou en général le mot
racine fignifie une quantité confidëréë comme la bafe
& le fondement d’une puiffance plus élevée. Voyer
P u is s a n c e , &c.
En général la racine prend la dénomination de la
puiffance dont elle eft racine ; c’eft-à-dire qu’elle
s’appelle racine quarrée fi la puiffance eft un quarré;
racine cubique fi la puiffance eft un cube, &c. ainfi la
racine quarrée de 4 eft 2, parce que 2 multiplié par 2
donne 4. Le produit 4 eft appellé le quarre de 2 , &
2 en eft la racine quarrée, ou Amplement la racine.
Il eft évident que l’unité eft à la racine quarrée,
comme la racine quarrée eft au quarré : do ne la racine
quarrée eft moyenne proportionnelle entre le quarré
& l’unité; ainfi 1: 2:: 2: 4.
Si un nombre quarré coinm.e 4 eft multiplié par fa
racine 2, le produit 8 eft appellé le cube ou la troifiè-
mt'Pui][ance de 2 ; & le pombre 2 , confidéré par
rapport a^ ^pJt*ilire en eft la raefie çtçbjque.
Puifque l’unité eft à la racine comme la racine eft
aRRtiarre, & que l’unité eft à la racine commue le
quarre eft ail cube , il s’enfuit que l’unité, la racine 9
*1 ^M^iré 8c le.cube foqt en proportion.çontinue,
c’eft-à-dire que 1 : 2 : : 2 : 4 : : 4 : jj.'par .çon/é-
quent la racine ephique. eft la première de deux
moyennes proportionnelles entre l’unité. 8c le cube.
-, > ' v *à.ractpe d’un nonifire o\\ d’ube pui|ïbqpc
donnée, comme 8 , c’eft la même chofe que de
Tome X I I I . . '' ^ ' ^ ‘1“
R A C 7 4 9
t r o u v e r u n n om b r e c om m e 2 , q u i é t a n t m u lt ip lié
p a r lu i-m êm e u n c e r t a in n om b r e d e f o i s , p a r e x em p
le d e u x fo i s , p r o d u ife c e n om b r e 8 . Voyer E x t
r a c t io n .
U n e racine q u e l c o n q u e , q u a r r é e o u c u b iq u e , o u
d ’u n e p u ifl’a n c e p lu s é le v é e , e ft a p p e lié e racine binôme
, o u Am p lem en t binôme q u a n d e lle e ft c om p o fé e
d e d e u x p a r t ie s ; c om m e 2 0 4 4 o u a 4 b. Voye%
B in ô m e .
S i la racine e ft c om p o fé e d e t r o i s p a r t ie s , o n l’ a p p
e l le trinôme , c om m e 2 0 0 4 4 0 4 5 o u 'a 4 b 4 c..
Voye\ T r i n ô m e . S i la racine a p lu s d e t r o i s p a r t
ie s , ‘ o n l’a p p e l le multinome, c om m e 2 0 0 0 4 4 0 0 4
5 0 4 6 , o u ^ 4 ^ 4 c 4 ^- V ° y et M u l t i n o m e .
M . l’ a b b é d e G u a n o u s à d o n n é d e p lu s , d an s u n
m ém o ir e im p r im é p . 4 6 5 du même vol. u n e m é th o d e
fu r le n om b r e d e s racines im a g in a ire s , r é e l le s p o fit
iv e s o u ré e lle s n é g a t iv e s . N e p o u v a n t e n t r e r d a n s
a u c u n d é t a il fu r c e f u j e t , n o u s n o u s c o n te n t e ro n s
d e d ir e a v e c l’ a u t e u r q u ’ o n t r o u v e fu r c e t t e m é th o d
e q u e lq u e s v u e s g é n é r a le s , m a is fo r t o b fc u r ém e n t
é n o n c é e s dan s u n e le t t r e d e C o l l in s a u d o f t e u r W a l l
is ; q u ’e n fu ite M . S t ir lin g a p o u ffé c e s v u e s u n peu,
p lu s lo in d an s fo n é n um é ra t io n d e s lig n e s d u t r o ifiem
e o rd r e ; m a is q u ’ il s’ e n f a u t b ie n q u e la m é th o d
e d e c e g é om è t r e n e la iffe p lu s r ie n à d e f ir e r . N o ü s
c r o y o n s p o u v o i r e n d ir e a u t a n t d e la m é th o d e d e
M . l’a b b e d e G u a , p u ifq u e c e tt e m é th o d e , d e fo n
p r o p r e a v e u , fu p p o fe l a r é fo lu t io n d e s é q u a t io n s
q u i n ’e ft p a s m êm e t r o u v é e a b fo lum e n t p o u r le
3 * d e g r é . N o u s a v o n s p a r lé à l a fin d e l'art. E q u a t
io n , d u t r a v a i l d e M . fo n t a in e lu r le m êm e fu je t . (O )
R a c i n e , terme d'Afironomie, q u i fig n ifie u n e é p o q
u e o u in ftan t d u q u e l o n c om m e n c é à c om p t e r le s
m o u v em e n s d e s p la n è t e s . I l e ft a v a n t a g e u x c h a q u e
fo is q u ’o n v e u t c o n n o ît r e le lie u m o y e n d’u n e p la n
è t e , p o u r u n tem s d o n n é , d e le t r o u v e r c a lc u lé
d an s le s tables agronomiques , o ù l ’on^ a e u fo in d e
r é d u ir e le lie u m o y e n o u l’ a n om a l ie m o y e n n e d e s
p la n è t e s a u t em s d e q u e lq u e e r e c é lé b r é , t e l le q u e
l’ e r e c h r é t i e n n e , l’ e r e d e N a b o n a f f a r , c e lle d e la
c r é a t io n d u m o n d e , la fo n d a t io n d e R o m e , le c om m
e n c em e n t d e la p é r io d e ju l ie n n e , &c. I l a d o n c f a llu
t r o u v e r d an s c e s t a b le s le lie u m o y e n d e s p la n è t e s
p o u r c e s e r e s p r o p o f é e s , 8c fu r -to u t p o u r le s m id is
d e t em s m o y e n , & n o n p a s d e t em s v r a i o u a p p a r e n t .
C e s l ie u x m o y e n s d e s p lan è te s a in fi d é t e rm in é s ,
l e n om m e n t lès • époques o u Us racines des moyens mouvemens
, p u ifq u e c e fo n t au tan t d e p o in t s f ix e s d’ o ù
4 o n p a r t p o u r c a lc u le r to u s le s a u t r e s m o u v em e n s .
V o ye i E po q u e & T a b l e s . In fl. afi. p . 5 q.y. 8cc.
R a c in e , p a r t ie d e s p lan t e s p a r la q u e lle e lle s s ’a tta
c h e n t à la t e r r e ; i l y a d e s racines b u lb e u fe s , d e s
tu b é r e u fe s & d e s fib r e u fe s . L a racine b u lb e u fe e ft c e
q u e l ’o n a p p e l le v u lg a ir em e n t un oignon, q u i e ft le
p lu s fo u v e n t g a rn ie à f a b a fe d e racines fib r e u fe s : le s
b u lb e s fo n t f o l id e s , radices bulbofce folidee ; p a r c o u c
h e s , tunicatce ; é c a il le u fe s 9fquamofæ ; d e u x à d e u x ,
duplicata ; o u p lu fie u r s e n f em b le , agg’-egau : e lle s
fo n t au ffi d e d iffé r e n t e s fig u r e s . L a racine tu b é r e u fe
o u e n tu b e r c u le e ft c h a rn u e 8c fo l id e , e lle d e v ie n t
p lu s g ro f fe q u e la t i g e , e lle y a d h é ré o u y e ft fu fp e n -
d u e p a r u n f i l e t , e lle a d iffe r e n te s f ig u r e s . L a racine
fib r e u fè e ft c om p o fé e d e p lu fie u r s a u t r e s racines p lu s
p e t it e s q u e le u r t ro n c ; e lle e ft p e r p e n d ic u la ir e o u
h o r i fo n t à le , c h a rn u e o u filam e n te u fe , Am p le o u
b r a n ç h u e . Eiortz par.pr.od. p a r M . D a lib a rd .
R a c in e , en An atom ie, le dit a ffe z o rd in a ir em e n t
d e l’ e n d ro it d an s le q u e l le s p a r t ie s fo n t a t t a ch é e s .
O n appelle rapine des dents la partie de ces o s qui
eft renfermée dans le s alvéoles. Voye^ A l v é o l e .
La racine du n e z e f t c e t t e p a r t ie q u i r é p ô n d à l’ a r t
i c u la t io n d e s o s d u n e z a v e c l e c o r o n a l. V c y e ç N e ï
& G o r o n à l .
• C C c c c i j