d e s ; e n q u o i il s f e t r om p e n t g ro f f ie r em e n t , c e s d e u x
p r o b lèm e s n 'a y a u t a u c u n r a p p o r t .
P lu fie u r s g é om è t r e s o n t a p p ro c h é fo r t p r è s d e c e
ra p p o r t . A r c h im è d e p a r o ît a v o i r é t é u n d e s p r em ie r s
q u i o n t t e n t é d e l a d é c o u v r ir , 6c a t r o u v e p a r le
m o y e n d e s p o ly g o n e s - r é g u l ie r s d e 9 6 c o t e s in fc r it s
& c it ç o n fé r it s a u - c e r c le , q u e c e r a p p o r t e f l c om m
e 7 à e i . P’n y e ; P o t.YC roN K . . . .
Q u e lq u e s -u n s des- m o d e rn e s o n t a p p ro c h e b e a u c
o u p 'p lu s p r è s , fu r - to u t L u d o lp h e d e C e u l e n q u i a
t r o u v e h p l i s 't t e s c a lc u ls in fin is , q u ’ e n fu p p o fa n t
q u e c e d iam è t re fo it i , la c ir c o n fé r e n c e e ft p lu s p e t i t e
q u e 3 . 1 4 1 3 9 x 6 3 3 3 8 9 7 * 9 3 1 3 8 4 6 2 6 . 1 3 3 8 3 8 7 9 3 0 ;
m a is p lu s g r a n d e rq u e c e m êm e n om b r e e n m e t tan t
l ’u n it é p o u r d em i è r .ch ifre .
L e s g é om è t r e s o n t e â c o r e e u r e c o u r s a d’a u t r e s
m o y e n s y fu r - to u t ' à d é s é fp e c e s d e c o u r b e s p a r t ic
u l i è r e s q u ’ o n a p p e lle qucidràtrices ; m a is c om m e
c e s c o u r b e s fo n t m é c h a n iq u e s o u t ran lc e n d an t t s , 6c
n o n p o in t g c om c t r iq u ë s , e lle n e f a t is fa it p o in t e x a c tem
e n t à la fo lu t io n d u p r o b lèm e . Voye[ T R A N S C
EN D A N T , M É CH AN tSM K 6* Q U A D R A T R IC E . "*
O n a 'd o n c , em p lo y é à l’ a n a l y f e , ^ & t e n t é d e r e -
fo u d r é c e p r o b lèm e p a r p lu fie u r s m é th o d e s d iffé r e n t
e s , & p r in c ip a lem e n fe n em p lo y a n t c e r ta in e s fé r ié s
q u i’ d pn riênt la quadrature a p p ro c h é e d u c e r c lé p a n
u n e p ro g re fltb 'n ' d e t e rm e s . S é r i e ou Su it e .
E n C h lr ch d n t p a r e x em p le u n e lig n e d r o i t e - é g a le
à l a c ir c ô i i f é r è h 'c é i ’ ü n c e r c le ,* ô n t r o u v e e n fu p jio -
fa n t p o u r le d i am e t r è ; .q u e l » c i r c o n f é r e n c e d o it ê t re
4 ,_ a _j_ i ’d p i q ; d &c. q u i -fo rm en t im e fu ite in fin ie
d e f r a f i io n s d o n t l e n um é ra t e u r eft--tou jou rs 4 , &
d o n t le s d é n om in a t e u r s fo n t d a n s la fu ite n a tu r e lle
d e s n om b fé É ih ’ë g a u x '; ’ & to t is c è s fe rm e s fo n t a l t e r n
a t iv em e n t f f ô p g ran d s & t ro p p e t it s . .
S i l’ o n p ô u v b it t r o u v e r la fom m e d e c e t t e fu ite ,
o n a u r ô it l a quadrature dû cercle ; m a is o n n e I V p o in t
e n c o r e t r o u v é e , & i l y a m em e a p p a r e n c e q ii o n n e
l a d é c o u v r ir a d e lo n g -tem s . O n n ’a p o in t c e p e n d an t
d ém o n t ré q u e la c h o fe fo it im p o f f ib le , n i p a r c o n fé q
u e n t q u e la quadrature du cercle le fo i t a u ffi.
* D ’a ille u r s c om m e o n p e u t e x p r im e r la m êm e g ra n d
e u r p a r d iffé r e n te s f é r ié s , i l p e u t fe f a i r e a u ffi q u e
l ’o n p u iffe e x p r im e r là c ir c o n fé r e n c e d ’im c e r c le p a r
q u e lq u e a u t r e f é r i é d o n t o n p u if fe t r o u v e r la fom m e .
N o u s a v o n s d e u x fu ite s in fin ie s q u i e x p r im e n t la
r a ifo n d e la c ir c o n fé r e n c e a u d iam è t re , q u o iq u e
d ’u n e m a n ié r é in d é fin ie . L a p r em iè r e a e t e d e c o u - v
v e r t e p a r M . N e w t o n , q u i a t r o u v e , e n fu p p o fa n t
p o u r le r a y o n , q u e l e q u a r t d e la c ir co n fé ren c e^ e f l
1 _ } . 9 &c. L a fé c o n d é e f l d e M . L e ib n i t z ,
q u i t r o u v é d e m êm e q u e l e r a y o n é t an t 1 a r c d e 4 5
d e g r é s , e f l la m o it ié d e 1 — 7 + 7 “ 7 + Î V o i c i
l a m a n ié r é d e t r o u v e r c h a cu n e d e c e s f e n e s p a r le
c a lc u l in t é g r a l ; o n l a d o it à M . N e w to n .
Quadrature du cercle p a r M. Newton. S o it le r a y o n
•du c e r c le 4 C — i (Planch . d 'a n a l.fig . 2 4 . ) C P = x 9 y=1/ (1 - B )& y' 0 * __ j_ x e ____J_ x t _ -L - — vc‘ , &c. a 1 in fin i. Voye^
B i n ô m e . D o n c P p m M o u y d x = d x — x d x
— >%x 4 d x —?fig'x6 d x —■ TYg — * * d x — yth ~ x
d x ~ & c . à l’in fin i.
E t s y d x x t x — j x * ^ x s — t t s x ~~ T 77» x
_ î - a r 1 1 à i ’in fin i. ;;ƒ /
L o r fq ü e 2: d e v ie n t é g a l a u r a y o n C A , 1 e fp a c e
D C P M. fe c h an g e e n u n q u a r t d e c e r c le . S u b flitu a n t
d o n c i à * , l e q u a r t d e c e r c le f e r a 1 B t t i
_____s_______ ! _ , &c. à l’ in fin i. C e t t e m em e f e n e p e u t
W È È tli rnZfùrpr la fii r fà c e e n t iè re d u c e r c l e , e n fu p p
o f a n t fo n d iam è t re = 1 . . ,
Quadrature du cercle p a r M. Leibmtç. S o it la t an g
e n t e K B ( P I . d 'an a ly fefig. 2.5 .) — x , B C — 1 ; la
fe c a n t e A C in fin im e n t p r o c h e d e C K ; d é c r iv e z a v e c
l e r a y o n C K . U p e t it a r c K L ; v o u s a u r e z A K ~ d x j
K C = ( 1 + x 1 ) . M a in te n a n t p u ifq u e le s an g le s
B & L fo n t d r o i t s , & l’ an g le B K C — K A C , à c a u fe
d e la p e t it e ffe in fin ie d e l’ an g le K C L , n o u s a u ro n s
K C : B C i l K A K L , c ’ e ft -à -d ir e
3/ ( I + * * } 4 I : I
D e p lu s , C K : K L u C M : m M ; c’ e f l- à -d ir e
. a . dx dx
| / ( . t + * ) 1 î y y ï T
D o n c le f e é le u r C M d x : ( 1 + * l ) = ^ ( i x
— x x d x -f- d x — x 6 d x -f- x * d x — x l ° 6*c/) &
l’ o n t r o u v e , p a r le c a lc u l in t é g r a l , le fe ê le u r B C M
(d o n t l a tan g en te K B e f l * ) ‘ + \ * 3 + r s x% ~~ t ?
x 7 -f- x * — * " &c. & a in fi à l’ in fin i. C ’ e f l p o u r q
u o i f i B M e f l la h u it ièm e p a r t ie d u c e r c le o u u n a r c
d e 4 ^ . le f e & e u r f e r a £ - i + t z ~~ ~h à l’ in fin i.
D o n c lë d o u b le d e c e t t e fé r ié 1 — j + f — \ + y — t t .
tfc. à l’ in f in i , e f l le q u a r t d e c e r c le .
Quadrature des lunules. Q u o iq u ’ o n n ’ a it p o in t e n -
c o r e t r o u v é ju fq u ’ i c i la quadrature p a r fa i t e d u c e r c le
e n t i e r , o n a c e p e n d a n t d é c o u v e r t le s m o y e n s d e
q u a r r e r p lu fie u r s d e f e s p o r t io n s . H ip p o c r a t e d e C h io
e ft le p r em ie r q u i a it q u a r r é u n e p o r t io n d u c e r c le à
q u i f a fig u r e a fa it d o n n e r le n om d e lunule. Voyeç
L u n u l e .
C e t t e quadrature n e d é p e n d p o in t d e c e lle d u c e r c
l e ; m a is a u ffi n e s’ é t e n d - e lle q u e fu r l à lu n u le e n t
iè r e o u fu r f a m o it ié .
Q u e lq u e s g é om è t r e s m p d e rn e s o n t c e p e n d a n t
t r o u v é la quadrature d’ u n e p o r t io n d e la lu n u le à .
v o l o n t é , in d é p e n d am m e n t d e c e l le d u c e r c le ; m a is
e l le e ft to u jo u r s f u j e t t e .à c e r t a in e r e f t r i ô i o n , q u i
em p ê c h e q u e la quadrature n e f o it p a r fa ite , - o u , p o u r
m e f e r v i r d u la n g a g e d e s G é o m è t r e s , a b fo lu e & in d
é fin ie . t
M . lé M a rq u is d é l ’H ô p ita l a d o n n é e n 1 7 0 1 u n e
. n o u v e l le m a f iie r e d e q i la r r e r le s p a r t ie s d e la lu n u le
p r if e s é n d iffé r e n t e s m a n ié r é s & fo u s d iffe r e n t e s c o n d
itio n s ; m a is e lle e ft fu je t t e a u x m êm e s im p e r fe -
û io n s q u ë le s au t r e s .
Quadrature de Vellipfe. L ’ e ll ip fe e ft u n e c o u r b e d o n t
o n n ’a p o in t e n c o r e t r o u v é la quadrature e x a é te ; c e
q u i o b l i g e 1 d’ a v o i r r e c o u r s à u n e fe r ie .
S o it A C {P lan e , an a l.fig . 2C .) — a , G C — C 9 P C
= * , o h a u r a
y ' = c ' (a * - x " ) : a 1
y z x c y / QP — x 1 : a
. .a . .N ** - * + -*<+. m a is y (a —x )z= .a— ~a g*Jlg a ~I18a7 ts ia c
j c x ' dx i x+dx
à l’ in fin i. D o n c y d x x x e d x —^ i -------- 574—
^dx* 9 &c. à l’in fin i.
S i l’o n fu b ft itu e a a u lie u d e * , l e q u a r t d e l’ e ll ip fe
fe r a a c — ^ a c — ^ a c — 77-3 a c — — 7 7 a c ~ TïTS,
a c y & c . à l’ in fin i.
I l fu it d e l à i ° . q u e f i o n fa it \A a c— 1 , l ’ a i r e d e l’el-
l ip fe fe r a = 1 — 7 — t s — .rf» *” 7 7 7 7 , ~ »776 ■> &■
l’ in fin i. D ’ o îi i l e ft é v id e n t q u ’u n e e ll ip fe e ft é g a lé à
u n c e r c le d o n t le d iam è t re e ft m o y e n p r o p o r t io n n e l
e n t r e le s a x e s c o n ju g u é s d e c e t t e m êm e e ll ip fe . z ° .
Q u ’u n e e ll ip fe e ft à u n c e r c le d o n t le d iam è t re e ft
é g a l a u g ra n d a x e , c om m e a c à a1 ; c’ e ft -à -d ir e
c om m e c à a , o u c om m e le p e t it a x e e ft a u g ran d .
D ’o ii i l fu it q u e l a quadrature du cercle d o n n e c e l le
d e l ’ e llip fe ; & a u c o n t r a ire .
Quadrature de la parabole. S o it a x = z y ' l ’ é q u a t io n
d e la p a r a b o le , d o n c y = a x z x d 1 Xt- : donc _ y d
x — a ‘ : 1 * 1 : 1 d x . D o n c s y d x = y a 1 *1 * * ‘
= j y /7 x } = j x y .
D ’o ù i l fu it q u e l ’ e fp a c e p a r a b o liq u e e ft a u re c tan g
le d e la d em i-o rd o n n é e p a r l’a b fc iffe c om m e f x y
à x y , c ’e ft -à -d ir e c om m e 2 à 3 .
Si î a î o u r b e n ’é t o it p o in t d é c r i t e , & q u e l’ o n n*eut
q u e fo n é q u a t io n , e n fo r t e q u e l’ o n n e sû t p o in t o ù
l ’o n d o it f ix e r l ’o r ig in e d e * , o n fe r o i t x — o d an s
l’ in t é g r a le ; & e ffa ç an t to u t c e qui- e ft m u lt ip lié p a r
* , o n a jo u t e ro it le r e l ia n t , fu p p o fé q u ’ il y e n e û t ,
a v e c u n lig n e c o n t r a i r e , & l’ o n a u r o it la quadrature
c h e r c h é e . M a is c e la d em a n d e ro it u n d é ta il t ro p p r o fo
n d p o u r a p p a r te n ir à c e t o u v r a g e : o n e n v e r r a u n
e x em p le à la fin d e c e t a r t ic le .
Quadrature de l'hyperbole.. M e r c a t o r d e H o l f t e in ,
l ’ in v e n t e u r d e s fu ite s in f in ie s , e ft le p r em ie r q u i e n
a i t d o n n é la quadrature a n a ly t iq u e : il t r o u v o i t fa
fu ite p a r l a d i v i f i o n ; m a is M M . N e w t o n & L é ib n itz
o n t p e r fe c t io n n é f a m é th o d e .
Maniéré de quarrer l'hyperbole entre fe s afymptotes >
fu iva n t la méthode de Mercator. P u ifq u e d an s u n e
h y p e r b o le e n t r e fe s a f ym p t o t e s , a? — b y ‘j - x y ; û
a — b — i , c e q u e l ’o n p e u t fu p p o f e r , p u ifq u e la d é t
e rm in a t io n d e b e f t a r b i t r a i r e , o n a u ra
1 — y + x y
i : ( i + * ) = ƒ ,
c ’e ft -à -d ir e ( e n fa ifa n t a c tu e llem e n t la d iv ifio n )
y = 1 — * + x* — x3 * ’ -f-x 6 &c.
ydx—dx-xdx-\-x*dx-x3 dx-\-x 4dx-x5 -dx-\-x6 dx, &c.
sydx=.x — ^x'~-\-jx} — - x 4 -f-1*s — -j^<5 + 7x 7 &c.
à l’ in fin i.
Quadrature de la cycloïde. O n a d an s c e t t e c o u r b e
( P l . an a l.fig . 2 7 . ) A Q : Q P i l M S : m S .
S o it d o n c A Q = x , A B = 1 , o n a u r a P Q = z \ /
( x — x x~) & m S — d x y / ( * — * * ) \-x. M a is i l e ft
d ém o n t r é q u e \ / ( * — * * ) ‘ 1—» î x } ' 1
x s ' ” — T ï x 7 ' 9 &c. à l ’in fin i. D o n c d x j / ( x —x x ) :
* = le s n um é ra t e u r s d e s e x p o fa n s é t an t d im in u é s
d ’u n e u n it é d an s l a d iv i fio n p a r * ) x —1 ' 1 d x 3- :
* * ‘ 1 d x — j x } ' 1 d x — fiçx^ ' 2 d x & c . à l ’ in fin i.
D o n c la fom m e 2 x 1 ' 1 — y * 5 : 1 — ~ x 1 ' 1 — 3^
oc1 ' 1 &c. à l ’ in f in i , e ft la d em i-o rd o n n é e d e l a c y c
lo ïd e Q M c om p a r é e à l’a x e A P . D ’o ù i l fu it q u e
A M Q p u l’ é lém e n t Q M S q d e l ’e fp a c e c y c lo ïd a l
A M Q — 2 x 1 ' ~ d x — j-x * ' 1 d x —- 3?s * 5 ' 2 d x —
* 7 ‘ 1 d x & c . à l ’in fin i. D o n c l a fom m e = : 2
■— ’ 1 — 7 5 x 7 ' 2 — x 9 ' 1 &c. à l’in f in i , e x p
r im e le fe gm e n t d e la c y c lo ïd e A M Q .
■ S i l’o n m u lt ip lie m S == d x y / ( x — x * ) : * p a r
G M = A Q = x , o n a u r a l’é lém e n t d e l ’a i r e A M G
= . d x \ / ( x — x x ) q u i é tan t le m êm e q u e l ’é lém e n t
d u fe gm e n t d e c e r c le A P Q , l’ e fp a c e A M G fe r a
é g a l a u fe gm e n t d e c e r c le A P Q f & p a r c o n fé q u e n t
l ’a i r e A D C é g a le a u d em i- c e r c le A P B .
P u is d o n c q u e C B e ft é g a l à la m o it ié d e l a c ir c o n f
é r e n c e d u c e r c l e , f i l ’o n fu p p o fe c e l le - c i = p & A B
= a , le reC tan g le B C D A fe r a = . a p ; & l e d em i-
c e r c le A P B y & p a r c o n fé q u e n t l’ e fp a c e c y c lo ïd a l
e x t e rn e A D C = . ^ a p . D o n c l’a i r e d e la m o it ié d e la
c y c lo ïd e A C B = ± a p y & c A M C B P A M § a p .
D ’ o ù i l fu it q u e l’ a ir e d e l a c y c lo ïd e e ft t r ip le d u
c e r c le g é n é r a t e u r .
Quadrature de la logarithmique. S o it la fo u tan g e n te
P T ( P l . an a l.fig . 2 8 . ) ==.a9P M = * , P p — d x , o n
a u r a
y d x : d y — a
y d x z=. a d y
s y d x : r= a y
D o n c l’ e fp a c e in d é t e rm in é H P M I e ft é g a l a u r e c
tan g le d e P M p a r P T. S o it i ° . Q s =z 1 : p o u r lo r s
l ’ e fp a c e 1 S Q I f z ^ a ^ ; 8 i . p a r c o n fé q u e n t S M P Q
— a J — a { — a ( y _ ; c ’ e ft-à-dire q u e l ’e fp a c e
c om p r is e n t r e d e u x o rd o n n é e s e ft é g a l a u reCtangle
d e la fo u t a n g e n t e , p a r l a d iffé r e n c e d e c e s o rd o n n
é e s . 2 ° . D o n c l’ e fp a c e B A P M e ft à l ’e fp a c e PM SQ
C omme la d iffé r e n c e d e s o rd o n n é e s A B & P M e ft à
c e l le d e s o rd o n n é e s P M S c S Q.
Quadrature de la courbe de Defcartes > exprimée pat.
l'équation b~ : x 1 : l b — x : y .
P u ifq u e b * y = b **<■— x ’
o n a y == ( h x 1 —■ x i ) : bz
y d x — ( b x 2 d x — x J d * ) : bz.
ÔC s y d x — x } ;_ 3 b — x 4 : 4 b*.
Quadrature de toutes les courbes comprifes fo u s l'équa*
tion générale y m y ( x -j- a ) .
P u ifq u e y = (■ *-)- a f ' m
o n 'a. y d x — d x ( x a f ' m
P o u r r e n d r e l’ é lém e n t in t é g r a b le , fu p p o fo n s
( * + a f ' m_ y
o n a u r a x -j- a = v
d x : m r ” ~ 1 d v
y d x — m vm d v
s y d x z ± ( x 4 - a ) ( x + a ) fo it X=~&;
le re ft a n t — a \ f a . D o f i c l ’a i r e d e la c o u r b e
( * + “• ) v (
C e t t e d e rn ie r e o p é r a t io n e ft fo n d é e fu r d e u x p r in c
ip e s . i ° . q u e l’a i r e d e la c o u r b e d o it ê t r e n u lle q u a n d
* = o . 2 ° . I l fa u t q u e l’a ire d e la c o u r b e f o i t t e lle q u e
f a d iffé r e n c e fo it d x . ( x - \ - a ) x ' m. O r e n a jo u t a n t l e
c o n fia n t — * > a v e c u n fig n e c o n t r a i r e , o n fa-*
t is fa it à c e s d e u x c o n d it io n s , c om m e i l e ft f a c ile d e
s’ e n a fsû re r ,
C om m e le s m é th o d e s p o l i r la q u a d ra tu r e d e s c o u r b
e s fo n t p r e fq u e t o u te s fo n d é e s o u fu r le s fu i t e s , o u
fu r le c a lc u l in t é g r a l , i l s ’e n fu it q u e p o u r f e m e t t r e
a u fa it d e c e t t e m a t iè re , i l fa u t fe r e n d r e fam ilie r
l ’u fà g è d e s fu ite s & le s m é th o d e s d u c a lc u l in t é g r a l.
Voye%_ S u i t e & C a l c u l i n t é g r a l . ( O )
Q u a d r a t u r e d e l a l u n e , e n A J l r o n o m ié , eft:
I f a f p e û o u la f itu a tio n d e la lu n e , lo r f q u e f a d i f t a n c e
a u lo le i l e ft d e 9 0 d e g r é s . P'oye^ L u n e .
L a quadrature d e l a lu n e a r r i v e lo r fq u ’ e lle e ft d a n s
u n p o in t d e fo n o rb it e é g a lem e n t d iftan t d e s p o in t s
d e c o n jo n f t io n & d’ o p p o u t io n ; c e q u i a r r i v e d e u x
fo is dan s c h a cu n e d é le s r é v o lu t io n s , f a v o i r a u p r e m
ie r & t ro ifiem e q u a r t ie r . Voye\ O r b i t e , O p p o s
i t io n , & C o n jo n c t io n .
Q u a n d la lu n e e ft e n q u a d ra tu re o n n e v o i t q u e l a
m o it ié d e fo n d ifq u e ; o fi d it a lo r s q i f e l l e e f t d ic h o to *
m e , c om m e q u i d i ro it co u p ée e n d e u x . P"oyez P h a s
e & D i c h o t o m i e .
L o r fq u ’ e lle a v a n c e d e s f y f y g i e s à l a quadrature, f a
g ra v it a t io n v e r s la t e r r e e ft d’a b o rd d im in u é e par*
l’action d u f o l e i l , 6 c fo n m o u v em e n t e ft r e ta rd é p a r
la m êm e ra ifo n , e n fu ite la g r a v it a t io n d e la lu n e e f t
a u gm e n té e ju fq u ’ à c e q u ’ e lle a r r i v e a u x quadratures.
Voye^ G r a v i t a t i o n .
A m e fu re q u ’ e lle s ’é lo ig n e d e fe s quadratures e n
a v a n ç a n t v e r s le s f y f y g i e s , f a g r a v it a t io n v e r s la
t e r r e e ft d ’a b o rd a u gm e n t é e , p u is d im in u é e . Voye^
S y s y g i e s .
C ’ e ft c e q u i f a i t , fé lo n M . N e w t o n , q u e l ’o rb it e
d e la lu n e e ft p lu s c o n v e x e to u te s ch ofe« d’a ille u r s
é g a lé s à fe s quadratures q u ’ à fe s f y f y g i e s ; c ’ e ft a u ffi
c e q u i fa it q u e la lu n e e ft m o in s d iftan te d e l a t e r r e
a u x f y f y g i e s , & l ’ e ft p lu s a u x quadratures to u te s
c h o fe s é g a le s . Voye^ O r b i T e .
L o r fq u e la lu n e e ft a u x quadratures , o u q u e l l e
n ’ e n e ft p a s fo r t é lo i g n é e , lé s a p fid e s d e fo n o r b i t e
fo n t ré t r o g r a d e s ; m a is e lle s fo n t p r o g r e f f iv e s a u x
'f y f y g ie s . Voye\ A p s id e s ,