q u e d an s le fé c o n d i l e ft a ffe é lé d’u n e fra é h o n .
P o u r a v o i r le r a n g d u te rm e d e la progrejjion d iffé r
e n t ie l le o îi fa fom m e e ft o ( & p a r u n e fu ite o ù le s
fom m e s d e s d e u x progujjîons c om p a ré e s fo n t é g a le s ) ,
i l e ft c la ir q u ’i l n ’y a q u ’à p r e n d r e à la d r o i t e d e o au ta
n t d e t e rm e s p o f it ifs q u ’ il e n a d e n é g a t ifs à f a g a u c
h e , c ’ e ft -à -d ir e d o u b le r & a jo û t e r i . C e t t e u n ité
q u ’ o n a jo u t e re p r é fe n t e le te rm e o lu i -m êm e , q u a n d
i l e ft e x p r im é . S ’i l e ft fo u s - e n t e n d u , il e ft à o b ie r v e r
q u e le r e ft e q u e la if fe la d iv i fio n d e P p a r M à la g au c
h e d e o , & io n c om p lém e n t à l’ u n ité v e r s la d r o i t e ,
fo n t c h a cu n e n p a r t ic u lie r p r is p o u r u n t e rm e d an s la
progrejjion. O n c om p t e d o n c d e u x t e rm e s p o u r u n e
fe u le u n it é d u q u o t ie n t . P o u r q u e c e lu i - c i p u iffe
r e p r é fe n t e r le n om b r e d e s te rm e s , il fa u t d o n c l ’ au gm
e n t e r d e l’u n ité . O n a d o n c d an s to u s le s c a s
( * = ÿ + o -
C e f e r o i t i c i le lie u d e d o n n e r d e s e x em p le s : m a is
to u s le s l i v r e s é lém e n t a ir e s d e m a th ém a t iq u e s e n
fo n t p le in s . N o u s n o u s b o rn e ro n s d o n c à u n p e t it
n o m b r e , c h o ilis e n t r e c e u x o ù l ’a p p lic a t io n d e s fo r m
u le s d e la t a b le p a r o ît fo u f fr ir q u e lq u e d ifficu lté .
Exemple I . E n t r e d e u x n om b r e s d o n n é s p èc d ,
t r o u v e r u n n om b r e q u e lc o n q u e r d e m o y e n s p r o p o r t
io n n e ls a r ithm é t iq u e s . - ' ■
C o n f id é r a n t p & d c om m e le s e x t r êm e s d ’u n e progrejjion
, d o n t le n om b r e d e s t e rm e s f e r a c o n fé q u em -
m e n t ( r + 2 ) , c’ e ft -à -d ir e le n om b r e m êm e d e s
m o y e n s à t r o u v e r •+• le s d e u x e x t r êm e s d o n n é s . L a
q u e f t io n f e r a p p o r t e a u f é c o n d a r t i c le d e la t a b le , o ù
l ’o n t r o u v e m = dnJ j . M a is n == r - f z ; d o n c n — i
= r + i ; d o n c m = —~ . O r la d i ffé r e n c e t r o u v é e , le
r e f t e fu it .
S i c ’ e ft e n t r e i & 1 3 q u ’ o n d em an d e t r o is m o y e n s
p r o p o r t i o n n e l s . = ^ r ï = ^ — 3 : & la/»rogre/
Jion e ft I . 4 . 7 . 1 0 . 1 3 .
Ex emple I I . D e u x v o y a g e u r s p a r t e n t a u m êm e
in ft a n t d e d e u x t e rm e s o p p o fé s d iftan s en tr’ e u x de
1 3 5 l i e u e s , & v ie n n e n t à l a r e n c o n t r e l ’u n d e l ’a u t r e ,
l a m a r c h e d u p r em ie r é t a n t r é g lé e p a r jo u r fu r le s
t e rm e s c o r r e fp o n d a n s d e c e tt e progrejjion a r ithm é t iq
u e ( 1 . 5 . 9 . & c . ) > & c e l le d u f é c o n d fu r le s t e rm e s
d e c e t t e a u t r e ( 4 . 7 . 1 0 . & c .) : o n d em an d e q u e l jo u r
il s fe r e n c o n t r e r o n t , & c e q u e c h a c u n a u r a f a i t d e
ch em in .
L e s d e u x progrejjions c o n c o u r a n t a u m êm e b u t ,
q u i e f t d e r a p p r o c h e r le s d e u x v o y a g e u r s , o n v o i t
q u e c ’e ft p a r a d d it io n q u ’ i l fa u t i c i p r o c é d e r . L a fom m
e d e s d eu x progrejjions e ft c e t t e n o u v e l le ( 5 . 1 2 . 1 9 .
& c . ) ; o ù l’o n c o n n o ît /» = 5 , ot = 7 , 5 = 1 3 5 : c e
q u i r am e n e la c h o fe a u c in q u ièm e a r t i c le d e l a t a b le .
L e c a lc u l d o n n e , a p r è s le s ré d u c t io n s n = 6 . . . p o u r
f a t is fa ir e à la f é c o n d é p a r t ie d e la q u e f t io n , i l n ’y a
p lu s q u ’à f a i r e ( p a r l ’a r t ic le 4 ) le s fom m e s p a r t ic u -
Exemple I I I . L e s a u t r e s c ir c o n ft a n c e s r e l ia n t le s
m êm e s , f i l ’ o n fu p p o fo it q u e le s v o y a g e u r s p a r t e n t
d u m êm e t e rm e p o u r a lle r v e r s l e m êm e c ô t e j i l e ft
c l a i r q u e le f é c o n d p r e n d r a d’ a b o rd d e l ’a v a n c e , mais
q u e le p r em ie r l ’a t t e in d ra p lu tô t o u p lu s t a r d : o n d e m
a n d e l e jo u r p r é c i s q u e c e la a r r iv e r a .
L a m a r c h e d e l ’u n d e s v o y a g e u r s t e n d à p r o c u r e r
le u r r é u n io n , tan d is q u e c e lle d e l ’a u t r e t e n d à l a r e t
a r d e r ; le u r e ffe t é t an t c o n t r a ir e , c’ e ft d o n c la fo u -
l l r a ô i o n q u ’i l fa u t em p lo y e r . O t a n t la fé c o n d é progrejjion
d e la p r em iè r e , 1 a d i ffé r e n t ie lle e ft (— 3 . — 2 .
— 1 . &c.') D ’ a ille u r s q u a n d le p r em ie r v o y a g e u r a tt
e in d r a le f é c o n d , il s a u r o n t fa i t l ’ u n & l’ a u t r e le
m êm e c h em in , le s fom m e s d e le u r s progrejjions re fp
e & iv e s fe r o n t d o n c é g a l e s , & p a r u n e fu ite c e lle d e
la d iffé r e n t ie lle fe r a 0 ; c ’ e ft-à -d ire q u ’ o n c o n n o ît d a n s
c e l le - c i P = — 3 , A f = 1 , s = o ) ; c e q u i ram e n e e n c
o r e la q u e ft io n a u c in q u ièm e a r t ic le d e la ta b le . O u
b ie n o n f e f e r v i r a d e l a fo rm u le p a r t ic u liè r e
{ r i == ’^ - 4 - 1 . D e l ’u n e & d e l ’ a u t r e m a n ié r é , o n t ro u v
e r a é g a lem e n t n-=. 7 ; c ’ e ft -à -d ir e q u e le p r em ie r
v o y a g e u r a t t e in d r a le f é c o n d à la fin d u fe p t iem e
j o u r , l ’u n & l’ a u t r e a y a n t fa i t 9 1 lie u e s .
A u lie u d e c om p a r e r d e u x progrejjions, o n p e u t
c om p a r e r u n e progrejjion a v e c u n e fu ite d e t e rm e s
n o n e r o iffa n s & to u s é g a u x e n t r e e u x {a . a. a. & c . ) :
m a is e n c o n fid é r a n t c e l le - c i (m a lg r é la c o n t r a d ic t io n
q u e re n fe rm e c e t t e id é e ) c om m e u n e progrejjion d o n t
la d iffé r e n c e f e r o i t o , c e t t e c ir c o n f t a n c e n e c h a n g e r a
r ie n à la m é th o d e q u ’o n v i e n t d’ em p lo y e r p o u r r é fo
u d r e l a d e r n ie r e q u e f t io n , a in fi q u ’o n v a le v o i r .
Exemple IV . D e s e f c la v e s fe f a u v e n t d an s u n e
b a rq u e q u i n ’ e ft é q u ip é e q u e d e r a m e s , & fo n t c h a q
u e jo u r 1 2 l i e u e s , e n a y a n t 5 0 à fa i r e p o u r fe r e n d
r e a u p o r t am i le p lu s p r o c h a in . U n v a if fe a u l e s
p o u r fu i t , d o n t l a ro u t e c o n t r a r ié e d’ a b o rd p a r d i v e r s
o b f t a c le s , p u is f é c o n d é e d’ u n v e n t q u i d e v ie n t d e
p lu s e n p lu s f a v o r a b l e , e ft r é g lé e p a r jo u r f u r le s t e r m
e s c o r r e fp o n d a n s d ’u n e progrejjion a r ithm é t iq u e
d o n t le p r em ie r t e rm e e ft 6 & la d i ffé r e n c e 5 . . . L e s
e f c la v e s fe ro n t - ils r e p r i s ? q u e l jo u r l e fe ro n t - ils ? de
à q u e l le d ift a n c e d u p o r t ?
A p p l iq u a n t , fi l’o n v e u t , la fo rm u le p a r t ic u l iè r e
{ n = — + 1 ) ; c om m e o n a i c i P = 1 2 — 6 = 6 &
M — 5 — o = 5 : o n t r o u v e 72 == - f - 1 = 3 - f - > i
L e s e fc la v e s f e r o n t d o n c r e p r i s ; il s le f e r o n t a u x f
d u q u a t r ièm e jo u r , à 9 f lie u e s d u p o r t q u ’il s c h e r c
h e n t , n ’a y a n t fa i t e n c o r e ,q u e 4 0 f lie u e s . C a r le u r
r o u t e e ft 1 2 X 3 + 7 = 1-2 X ^ ■ = 4 0 - f f ; ôc
c ’ e ft a u ffi la fom m e d e la progrejjion. Voye{ le m ém o ir e
in f é r é à la fin d e c e t a r t i c le .
Progrejjion géométrique. O n l a d é fig n e p a r c e c a -
raCte re (-H-) q u ’ o n m e t e n t ê t e d e la f u i t e , d o n t le s
t e rm e s fo n t d ift in g u é s e n t r e e u x p a r d e fim p le s
p o in t s . . . -H- 1 . 2 . 4 . 8 . &c. e ft u n e progrejjion g é o m
é t r iq u e ; o ù l ’o n p e u t o b f e r v e r q u e 2 e f t m o y e n
g é om é t r iq u e e n t r e 1 & 4 , 4 e n t r e 2 & 8 , &c. &
q u e d e d e u x t e rm e s c o n fé c u t ifs le f é c o n d n’e ft q u e
le p r em ie r m u lt ip lié p a r l’e x p o fa n t ( 2 ) d e l a progref-
Jîon. L ’ a n a lo g ie e f t f i m a r q u é e & f i fo u t e n u e e n t r e
le s d e u x progrejjions , q u e c e q u i a é t é d it d e l’ a r ith m
é t iq u e , p o u r r o it e n q u e lq u e fo r t e fu ffir e p o u r f a i r e
c o n n o ît r e la g é om é t r iq u e ; e n o b fe r v a n t q u ’ o ù c e lle -là
p r o c é d é p a r a d d it io n & p a r m u l t ip l i c a t io n , c e l le -
c i p r o c é d é re fp e C liv em e n t p a r m u lt ip lic a t io n & p a r
e x a l t a t io n . A u -m o in s p o u r n e p a s la i f fe r p e r d r e d e
v u e c e t t e é t r o i t e a ffin ité q u i p e u t j e t t e r u n g r a n d
jo u r fu r l’u n e & fu r l ’a u t r e , o n a ffeC te ra d e lu iv r e i c i
l e m êm e o rd r e & d’ em p lo y e r m êm e , a u t a n t q u ’ i l f e
p o u r r a , le s m êm e s e x p r e l fio n s q u ’o n a f a i t p lu s h a u t
p o u r l ’A r ith m é t iq u e .
N om m a n t p l e p r em ie r t e rm e , & m l ’ e x p o fa n t
to u t e progrejjion g é om é t r iq u e p e u t ê t r e r e p r é fe n t é e
p a r c e l l e - c i . . . . •— p . pm . p m1 . p m i . & c .
C h a q u e t e rm e n ’ é tan t q u e c e lu i q u i le p r é c é d é
m u lt ip lié p a r l ’ e x p o fa n t d e la progre jjion o u p a r m ; l e
f é c o n d e ft l e p r em ie r x p a r la p r em iè r e p u iffan c e d e
m ; le t ro if iem e , le p r em ie r x p a r la fé c o n d é p u if fa
n c e d e m , & a in fi d e fu ite : e n fo r t e q u e c h a q u e
t e rm e n ’ e ft q u e l e p r em ie r x p a r la p u iffa n c e d e m ,
d o n t l’ e x p o fa n t e f t m o in d re d’u n e u n it é q u e le r a n g
q u ’i l o c c u p e d an s la f u i t e , o u , c e q u i e f t la m êm e
c h o f e , é g a l à la d i ffé r e n c e d e fo n q u an tiem e à c e lu i
d u p r em ie r t e rm e . C e q u i d o n n e le m o y e n d e t r o u v e r
directement t e l t e rm e d q u ’o n v o u d r a , p o u r v u q u ’o n
fâ c h e q u e l q u an tiem e i l e f t , & q u ’o n c o n n o iffe d ’a ille
u r s
P R O
“le u r s p & m. S i n e ft l e q u a n t iem e , o n a u r a le t e rm e *
m ë m e , o \ x d s = p m n ~ l .
D ’o ù l ’o n t i r é , lît iv a h t le b e fo in
D a n s c e tt e d e rn ie r e é g a l i t é , l e f é c o n d m em b r e e ft
l e q u o tie n t d u p lu s g ra n d d e s d e u x t e rm e s c om p a ré s
d i v i fé p a r le p lu s p e t i t , d u q u e l o n a e x t r a it la ra c in e
d é fig n e e p a r la d iffé r e n c e d e le u r s q u an tièm e s ; &
c om m e p & d fo n t in d é t e rm in é s , i l r é fillt e q u ’On
o b t ie n d r a to u jo u r s m o u l’ é x p o fa n t d e la progrejjion,
e n d i v i fa n t le p lu s g ran d d e d e u x t e rm e s q u e lc o n q u e s
p a r le p lu s p e t i t , & t ir an t d u q u o t ie n t la ra c in e défi-
g n é e p a r l a d iffé r e n c e d e le u r s q u an tièm e s .
I l fu i t q u e q u i c o n n o ît le s d e u x p r em ie r s te rm e s
d ’ u n e progrejjion, e n c o n n o ît l’ e x p o f a n t , & d è s -là
to u t e la progrejjion. I l n ’ e ft p a s m ê ffie r ié c e fla iré q iié
le s d e u x t e rm e s c o n n u s fo ie n t le s d e u x p r em ie r s ; ils
p e u v e n t ê t r e q u e lc o n q u e s , p o u r v u q u ’ o n fâ c h e le u rs
q u an tièm e s* C a r d ’a b o rd o n a u r a l ’e x p o fa n t d e la
progrejjion p a r la fo rm u le d e m , en. fu b ft itu a n t à
Ç,ri — 1 ) la d iffé r e n c e d o n n é e d e s q ü à n t iem e s d e s
d e u x t e rm e s ; e n fu ite o n a u r a le p r em ie r t e rm e p a r
c e l le d<^/», e n y fu b ft itu a n t à d c e lu i q u ’o n v o u d r a
d e s d e u x t e rm e s d o n n é s , & à n fo n q u a n t iem e . S i
Ô3 & 5 6 7 fo n t le s t to if iëm e & c in q u ièm e t e rm e s
d ’u n e progrejjion , l ’ e x p o fa n t d e c e l le - c i e ft ■ ^ 9 ; t i r B M .
Si l’on compare les deux termes extrêmes, foit
avec deiix autres quelconques également éloignés
de l’un & de l’autre, foit avec celui du milieu quand
le nombre total en eft impair ; il eft clair que les quatre
termes comparés dans le premier cas, & les trois
dans le fécond, font en proportion. D’où il fuit
(Voyei Proportion) que le produit des èxtrêmes
eft égal à celui de tous autres deux termes pris à diftance
égale de l’un & de l’autre, & de plus au quarré
du terme du milieu, qüand le nombre des termes eft
impair.
Il eft démontré ( Voye^ Proportion) qu’en toute'
proportion & par une fuite, en toute progrejjion géométrique
, la fomme des ântécédêns eft à celle des
conféquens comme celui qu’on voudra dès antécé-
dens eft à fon conféquent; comme le premier terme
par exemple , eft au fécond: mais dans une progref-
fiôri tous les terrîiès font antéeédens hormis le der-
mer { p mn~ ') ; tous font conféquens hormis le premier
{p ) : nommant donc s la fomme de tous les termes
de la progrejjion, la fomme des antéeédens peut
etre repréfentée par (*-/»>«»-■ ),& celle des con-
fequens par ( s -/» ) ; on a donc s - p m " “ '. s p
. . p . p m**. 1 .m. Donc s m — p m* ±2 s —i p ; ou bien
sm— s—pm " —/» • ou bien encofe s == ^ m ZZ, Et
c’eft en effet l’exprelfiôn générale de la fomme de
toute progrejjion géométrique :• ce qu’on pourroit encore
prouver de cette mamere.
Si 1 on fuppofe p = 1 , la formule fe ré--
dlut ® 1 T S T = ’!h r r i ~ • * 1 a été démontré {art. ,
Exposant fur la fin) i°. que dortne toujours
un quotient exaft ; 20. que ce quotient eft formé de
termes qui ont tous le figne + , & qui font par ordre
les puiffances fucceffives & décroiffantes de m , de-
^>U n co*fPr^ m n * jufqu’à m 0 inclufivement,
c.e IH » ! dan^ lm ordre renverfé (ce qui ne fait
rien à la fomme) \* progrejjion qui a n pour nombre
de fes terme* 1 pour premier terme, & m pour ex-
P R Ö 43$
p ö la h t. S a fom m e e ft d o n c e x a c t em e n t re p r é fe n t é e p a r
m _ , •> & P a r c o n fe q u e n t c e l le d e to u t e a u t r e progrejjion
q u i a i i r o i t p o u r p r em ie r te rm e u n h bm b r é
q u e lc o n q u e / » , le fë r a p a re illem e n t p a r p— ~ pi
L a fu p p o fit io n q u ’o n v ie n t d e fair.e d c p = i féndi
p lu s fim p le l’ e x p r e i f io n d e la progrejjion ; e lle d e v ie n t
( 1 . m: rr iji m 3 . & c . ) o u (.m ° . m ' . m ,n J . & c . ) en
lo r t e q u ’i l n ’y e n t r e p lu s q u ’u n e fe u le l e t t r e , q u i e ft
1 e x p o la n t d e \aprogrejjion, à la q u e lle / » , p r is p o u r u n
n om b r e d iffé r e n t d e m , n’ e ft p o in t e ffe n t ie l. . . L a
fu ite d e s n om b r e s n a tu re ls ( o . 1 . 2 . 3 . &cj f g r e t
r o u v e d o n c e n c o r e i c i : mais a u lie u q u ’il s c to ie n t
le s c o ë ffic ie n s d e rn d an s la progrejjion a r it h m é t iq u e ,
ils fo n t i c i le s e x p o fa n s d e le s p u iffan c e s .
S i m = 1 , i l n ’y a p o in t d eprog'effion ; m a is u n e
fu ite d e te rm e s to u s é g a u x ; c a r 1 é l e v é ’ à q u e lq u e
p u iffan c e q u e c e f o i t , r e l ia n t t o u jo u r s 1 - , & 1 n e
ch an g e an t p o in t le s g ra n d e u r s q u ’i l m u l t i p l i e , le s
t e rm e s d e la progrejjion p r é t e n d u e n e fe r o ie n t to u s
q u e le p r em ie r r é p é té .
S i tii > 1 , ld progrejjion e ft c ro iffa n t é .
S i m < 1 , la prog. ejjion e ft d é c ro iffa n te ; m a i i
p o u r la r e n d r e c ro if là r it e , i l n ’y a q u ’à la r e n v e r f e r .
Q u a n t a u x fig n e s q u i a f fe ô e n t le s te rm e s , d’une*
progrejjion g é om é t r iq u e ? v o i c i à q u o i to u t fe ré d u it .
Q u a n d m e f t p o f i t i f , to u s le s t e rm e s o n t le même
fig n e , q u i e ft c e lu i d e p .
Q u a n d m e ft n é g a t i f , le s lign e s fo n t a lt e rn a t ifs ; d é
fo r t e q u e le fig n e d e /» d é te rm in e c e lu i d e s te rm e s im-“ •
p a ir s .
O n v o i t q u e p o u r a v o i r la fom m e d’u n e progrejjiojt
d e c e t t e d e rn ie r e e fp c - c e ,il la fau t c o n c e v o i r r é fo lu e
e n d e u x a u t r e s , fo rm é e s ; l’u n e d e s t e rm è s p o fit ifs ^
1 a u t r e d e s n é g a t i f s , & q u i a ie n t p o u r e x p o fa n t c om m
u n n o n p lu s A m p lem e n t n i, m a is fo n q u a r r e
O n fe r a f é p a r ém e n t la fom m e d e - ch a cu n e d e ces pro j
grejjions, & le u r d i ffé r e n c e fe r a la fom m e d e la /»ro-*
grejjion e n t iè r e . E l le a u r a le fig n e d u d e r n ie r te rm e ,
f i la progrejjion e ft c ro if fa n t é ; & c e lu i d u p r em ie r , f i
e l le e ft d é c ro iffan te .
S i {rn°) e ft l’o r ig in e d ’u n e progrejjion c ro iffa n t é v e r s
la d r o i t e , i l p e u t l’ê t r e é g a lem e n t d’u n e d é c ro iffa n te
v e r s la g a u c h e , o ù fe s e x p o fa n s fe ro n t n é g a t i f s ,
m~J. rrtJ . ôcc. T o u t e progrejion g é om é t r iq u e c om m e
• a r it h m é t iq u e , p e t it d o n c f é c o n c e v o i r d iv i fé e eni
d e u x b r a n c h e s , l’ u n é c ro iffa n t é , l’ a u t r e d é c ro iffa n te
d e p u is p , q u i s ’ étend e rit e n fe n s c o n t r a i r e , & to u te s
d e u x f e p e r d e n t d an s l’ in fin i. O u , f i l’o n v e u t , Ce n ’e n
fe r a q u ’u n e fe u le , C ro iffan té , Ou d é c ro iffan te d an s
to u t io n c o u r s , fé lo n ' le c ô t é d u q u e l ori v o u d r a là
p r e n d r e , m a is q u i n’a n i,c om m e n c em e n t n i fin . •
E n to u te progrejjion g é om é t r iq u e o n p e u t c o'n fid é -
f e r c in q p r in c ip a u x é lém e n s .
L e p r em ie r t e rm e , p.~)
L e d e r n i e r , d . f
L ’e x p o fa n t ,- m j>
L e n om b r e d e s t e rm e s , nA
L a fom m e d e la progrejjion , s . \
O r d é c e s c in q é lém e n s , t r o is p r is c om m e o ii v o u d
r a é t an t c o n n u s , o n c o n n o ît le s d e u x a u t r e s ; c e
q u i fo rm e d ix c a s , p o u r c h a cu n d e fq u e ls o n t ro u v e ra i
p a r o rd r e dan s la t a b le fu iv a n t e la v a le u r d é s d e u x
in c o n n u e s . O n ÿ à e x p r im é h p a r le s lo g a rithm e s ,
p a r c e q u ’i l e ft to u jo u r s p lu s c om m o d e & q u e lq u e *
f o i s n é c è f fa ir e d’y a v o i r re c o u r s .
Connües. , nconriues.
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