A in fi le n om b r e 2 é t an t u n n om b r e q u i , m u lt ip lié
p a r lu i-m êm e , d o n n e le n om b r e quarré 4 , e ft a p p e lle
l a racine quarrée d e 4.
P u ifq u e la r a c in e quarrée e ft a u n om b r e quarré,
c om m e l’u n ité e ft à l a r a c in e quarrée , la r a c in e e ft
m o y e n n e p r o p o r t io n n e lle e n t re l’u n it é & le n om b r e
quarré.
U n e r a c in e quarrée q u i a d e u x p a r t ie s f e n om m e
binôme, c om m e 20 + 4. V o y t \Binôme.
S i e lle a t ro is p a r t ie s , o n l’ a p p e lle trinôme, c om m e
6 + 2 — 1 . y T r i n ô m e . ^
O n d ém o n t re q u e c h a q u e n om b r e quarré d’u n e
r a c in e binôme e ft c om p o fé d u quarré d e la p r em iè r e
p a r t ie , p lu s le d o u b le d e la p r em iè r e m u lt ip lié p a r
la f é c o n d é , p lu s le quarré d e la fé c o n d é .
P o u r e x t r a ir e l a r a c in e quarrée d e to u t n om b r e
d o n n é . Voye\^ Extraction & Racine.^ ( - £ )
Quarré quarré , c’ e ft la p u iffa n c e im m é d ia t e m
e n t a u -d e ffu s d u c u b e , o u l a q u a t r ièm e p u ifla n c e ;
a in fi <2+ e ft u n quarré quarré, p a r c e q u e c ’ e ft le quarré
d u quarré a . ( £ )
QuarrÉS magiques, ’en Arithmétique, o n d o n n e
c e n om à d e s fig u r e s quarrées fo rm é e s d ’u n e fu ite o u
f é r ié d e n om b r e s e n p r o p o r t io n a r ith m é t iq u e , d i f-
p o ié s dan s d e s lig n e s p a r a l lè le s o u e n d e s ra n g s
é g a u x ; d e t e lle fo r t e q u e le s fom m e s d e to u s c e u x
q u i fe t r o u v e n t d an s u n e m êm e b a n d e h o r i fo n t a le ,
v e r t i c a l e , o u d i a g o n a le , fo ie n t to u te s é g a le s e n t re
e l le s .
T o u s le s n om b r e s q u i c om p o fe n t u n n om b r e quarré
q u e l c o n q u e , p a r e x em p le ' , 1 . 3 . 4 . &c. ju fq u ’à 2 5 in -
c lu f iv em e n t , q u i c om p o fe n t le n om b r e quarré 2 5 ,
a y a n t é t é d ifp o fé s d e fu ite d an s u n e fig u r e quarrée d e
2 5 c e l lu l e s , c h a cu n d an s la t ie n n e ; fx a p rè s c e la o n
c h an g e l’ o r d r e d e c e s n o m b r e s , & q u ’ o n le s d ifp o fe
d a n s le s c e llu le s d e f a ç o n q u e le s c in q n om b r e s q u i
c om p o fe r o n t u n e b an d e h o r i fo n t a le d e c e llu le s q u e lc
o n q u e s , é tan t a jo u t é s en fem b le fo rm e n t to u jo u r s la
m êm e fom m e q u e c in q n om b r e s q u i c om p o fe r o n t
t o u t e a u t r e b an d e d e c e l lu l e s , f o it h o r i fo n t a le , fo it
v e r t i c a l e , & m êm e q u e le s c in q q u i c om p o fe r o n t
c h a cu n e des. d e u x b a n d e s d iago naL e s : c e t t e d ifp o fi-
t io n d e n om b r e s s’ a p p e lle un quarré m agique, p o u r la
d ift in g u e r d e la p r em iè re d ifp o fit io n q u ’o n a p p e lle
quarré naturel. Voyc{ le s f ig u r e s fu iv a n te s .
Quarré naturel. Quarré magique.
I 2 3 1 4 5 1 6 1_4 8 J 2 2 5
6 7 8 9 1 0 3 2 2 2 o j l I 9
1 1 1 2 n 1 4 *5 M 6 4 j i 3 *7
1 6 1 7 18 19 2 0 2 4 1 8 1 2 ) 1 0 1
2 1 2 : 23 2/- 2-5 7 5 U n
O n p o u r r o it c r o ir e q u e le s quarrés magiques o n t
e u c e n o m , p a r c e q u e c e t t e p r o p r ié t é d e to u te s le u r s
b a n d e s , q u i p r ife s e n q u e lq u e le n s q u e c e fo it fo n t
to u jo u r s la m êm e f o m m e , a ^ a r u fo r t fu r p r e n a n t e ,
fu r - t o u t d an s c e r ta in s f ie c le s o ù le s M a th ém a t iq u e s
é to ie n t fu fp e â e s d e m a g ie : m a is i l y a a u fl i b e a u c o u p
d ’ a p p a r e n c e q u e c e s quarrés o n t e n c o r e m ie u x m é r it é
le u r n om p a r d e s o p é r a t io n s fu p e r f t it ie u fe s o îi i l s o n t
é t é em p l o y é s , t e lle s q u e la c o n ft r u f t io n d e s ta lif-
m a n s ; c a r fé lo n l a p u e r ile p h ilo fo p h ie d e .c e u x q u i
d o n n o ie n t d e s v e r t u s a u x n om b r e s , q u e l le v e r t u n e
d é v o ie n t p a s a v o i r d e s n om b r e s f i m e r v e i lle u x ? C e
q u i a d o n c c om m e n c é p a r ê t r e u n e v a in e p r a t iq u e
d e s fa ife u r s d e t a lifm a n s o u d e s d e v in s , e ft d e v e n u
d an s la fu ite le fu je t d ’u n e r e c h e r c h e fé r ie u fe p o u r le s
M a th ém a t ic ie n s ; n o n q u ’ il s a ie n t c ru q u ’ e lle le s p û t
m e n e r à r ie n d’u t i le n i d e fo lid e . L e s quarrés magiques
f e fe n te n t to u jo u r s d e le u r o r ig in e ; il s n e p e u v e n t
ê t r e d’a u c u n u fa g e : c e n ’ e ft q u ’u n j e u d o n t la d iffic
u l t é fa it l e m é r it e , & q u i p e u t fe u lem e n t f a i r e n a ît re
fu r le s n om b r e s q u e lq u e s v u e s n o u v e l le s , d o n t le s
M a th ém a t ic ie n s n e v e u le n t p a s p e r d r e l’o c c a f io n .
Em m a n n u e l M o f c o p u le , a u t e u r g r e c d u q u a to r z
ièm e o u d u q u in z ièm e f i e c l e , e ft le p r em ie r q u e
l’ o n c o n n o if fe q u i a i t p a r lé d e s quarrés magiques ; Sc
p a r le t em s o ù i l v i v o i t , o n p e u t foU p ç o n n e r q u ’ i l n e
le s a p a s r e g a rd é s e n fim p le m a th ém a t ic ie n : i l a d o n n
é q u e lq u e s r é g lé s p o u r le s c o n ft ru ir e . O n t r o u v e
d an s le l i v r e d ’A g r ip p a , q u e l’ o n a t a n t a c c u fé d e
m a g ie , le s quarrés d e s fe p t n om b r e s q u i fo n t d e p u is
3 ju fq u ’à 9 , d ifp o fé s m a g iq u em e n t ; & i l n e fa u t p a s
c r o i r e q u e t e s f e p t n om b r e s a ie n t é t é p r é fé r é s à to u s
le s a u t r e s fan s u n e g ra n d e r a ifo n ; c’ e ft q u e le u r s
quarrés fo n t p la n é t a i r e s , fé lo n le fy f t èm e cl’A g r ip p a
6c d e f e s p a r e i l s . L e quarré d e 3 a p p a r t ie n t à S a tu rn e , ,
c e lu i d e 4 à J u p i t e r , c e lu i d e 5 à M a r s , c e lu i d e 6
a u S o l e i l , c e lu i d é 7 à V e n u s , c e lu i d e 8 à M e r c u r e ,
& c e lu i d e 9 à l a L u n e . B a c h e t d e M e z ir ia c é tu d ia
le s quarrés magiques, fu r l ’ id é e q u ’ il e n a v o i t p r if e
p a r le s quarrés p lan é ta ire s d’A g r ip p a ; c a r i l n e c o n -
n o i flo i t p o in t l ’o u v r a g e d e M o f c o p u le , q u i n ’ e ft q u e
m an u fe r it d an s la b ib lio th è q u e d u ro i . I l t r o u v a , fan s
le fe c o u r s d’ au c u n a u t e u r q u i l’ eû t p r é c é d é , u n e m é - .
th o d e p o u r le s quarrés d o n t la r a c in e e ft im p a ir e ,
c om rn è p o u r 2 5 , 4 9 , &c. m a is il n e p u t r ie n t r o u v e r
q u i l e c o n te n t â t fu r c e u x d o n t la r a c in e e ft p a ir e .
A p r è s lu i v in t F r e n ic le . U n h a b ile a lg é b r ifte . a v o i t
c ru q u e le s 1 6 n om b r e s q u i c om p o fe n t le q u a r r é d e
4 , p o u v a n t ê t r e d ifp o fé s d e 2 0 9 2 2 7 8 9 8 8 8 0 0 0 m a n
ié r é s d iffé r e n te s d an s u n quarré magique o u n o n m a g
iq u e , c e q u i e ft c e r t a in p a r le s r é g lé s d e c om b in a i-
iô n s , c e s m êm e s n om b r e s n e p o u v o ie n t ê t re d ifp o fé s
d iffé r em m e n t dan s u n quarré magique q u ’ e n 1 6 m a n
ié r é s . M a is M . F r e n ic le fit v o i r q u ’ il y e n a v o i t e n c
o r e 8 7 8 . D ’ o ù i l e ft a ifé d e c o n c lu r e c om b ie n f a
m é th o d e d e v o i t ê t r e fu p é r ie u r e à c e lle q u i n ’ a v o i t
p r o d u it q u e la 5 5 e p a r t ie d e s quarrés magiques q u ’ il
t r o u v o i t .
I l s ’a v i f a d ’a jo û t e r à c e t t e r e c h e r c h e u n e d ifficu lté
q u i n ’y a v o i t p o in t e n c o r e e u lie u . L e quarré magique
d e 7 , p a r e x e m p l e , é tan t C o n f t r u i t , & fe s 4 9 c e l lu
le s r em p lie s , f i o n e n re t r a n c h e le s d e u x b a n d e s
h o r ifo n ta le s d e c e llu le s & le s d e u x v e r t ic a le s le s p lu s
é lo ig n é e s d u m i l i e u , c ’ e ft -à -d ir e , - to u te l’ e n c e in t e
e x t é r ie u r e d u quarré, i l r e f t e r a u n quarré d o n t la r a c
in e f e r a 5 , & q u i n ’a u r a q u e 2 5 c e llu le s . I l n e fe r a
p a s é to n n an t q u e c e p e t it quarré n e fo it p lu s m a g iq
u e ; c a r le s b an d e s d u g r a n d n ’ é to ie n t d ifp o fé e s a e
m a n ié r é à f a i r e to u te s la m êm e fo m m e , q u e p r ife s
dans le u r to u t & a v e c le s 7 n om b r e s q u ’ e lle s r e n fe r -
m o ie n t c h a c u n e d an s le u r s 7 c e llu le s : m a is a y a n t é t é
m u t ilé e s c h a c u n e d e d e u x c e llu le s , & a y a n t p e r d u
d e u x d e le u r s n om b r e s , i l p e u t b ie n a r r i v e r q u e le u r s
r é ft e s n e fa f fe n t p lu s p a r - to u t u n e m êm e fom m e . M .
F r e n ic le v o u lu t q u ’u n e e n c e in t e d e quarré magique
é tan t ô t é e , & m êm e t e lle e n c e in t e q u ’o n v o u d f o i t ,
lo r fq u ’ i l y e n a aflfez p o u r c e l a , o u e n fin p lu fié u r s e n c
e in te s à la f o i s , le quarré r e ft a n t fû t e n c o r e m a g iq
u e ; & fan s d o u t e c e t t e n o u v e l le c o n d it io n r e n d o it
c e s quarrés b e a u c o u p p lu s m a g iq u e s q u ’ ils n ’ a v o ie n t
jam a i s é té .
I l r e n v e r f a a u ffi c e t t e q u e ft io n ; il v o u lu t q u ’u n e
c e r t a in e e n c e in t e p r ife à v o lo n t é , o u p lu f ié u r s , fu f -
f e n t in fé p a r â b le s d u quarré ; c ’e f t -à -d ir e q u ’ il c e f s â t
d ’ ê t r e m a g iq u e f i o n le s ô t o i t , & n o n f i o n e n ô to i t
d ’ a u t r e s . M . F r e n ic le n e d o n n e p o in t d e d ém o n f t r a -
t io n g é n é r a le d e fe s m é th o d e s , & q u e lq u e fo is il n e
f e c o n d u it q u ’ e n tâ to n n an t . I l e ft v r a i q u e fo n t r a i t é
d e s quarrés magiques n’ a pa s é t é d o n n é a u p u b lic p a r
lu i-m êm e ; il n e p a ru t q u ’a p rè s fa m o r t , & fu t im p
r im é p a r M . d e l a H ire e n 1 6 9 3 .
M . P o ig n a r d , c h an o in e d e B ru x e l le s , p u b lia e n
1 7 0 3 u n l i v r e fu r le s quarrés magiques, q u ’i l a p p e lle
fublimes. Ju fq u ’ i c i o n n ’a v o i t c o n ft ru it le s quarrés ma-
|
giques q u e p o u r d e s fu ite s d e n om b r e s n a tu re ls q u i
rem p liffo ie n t u n quarré : m a is à c e la M . P o ig n a rd f a it
d e u x a d d it io n s im p o r t a n t e s . i ° ; a u l ie u d e p r e n d r e
t o u s le s n om b r e s q u i rém p liffe n t u n quarré, p a r
e x em p le le s t r e n t e - f ix n om b r e s c o n fé c u t i fs q u i r em -
p l ir o ie n t to u te s le s c e llu le s d’ u n quarré n a t u r e l , d o n t
le c ô t é fe r o i t 6 , i l n e p r e n d q u ’a u tan t d e n om b r e s
c o n fé c u t ifs q u ’ il y a d’u n ité s d an s le c ô t é d u quarré ,
c ’ e f t -à -d ir e i c i 6 n o m b r e s , & c e s 6 n om b r e s fe u ls i l
le s d ifp o fe d an s le s 3 6 c e l lu l e s , d e 'm a n ie r e q u ’ au c u n
n e fo i t r é p é t é d e u x fo is d an s u n e m êm e b an d e , fo it
h o r i f o n t a le , fo it v e r t ic a le , fo it d ia g o n a le . D ’o ù il
fu i t n é c e ffa ir em e n t q u e to u te s le s b an d e s , p r if e s en
q u e lq u e fe n s q u e c e l o i t , fo n t to u jo u r s la m em é fom m
e . M . P o ig n a r d a p p e lle c e la progrejjion répétée. 2 0 .
A u lie u d e n e p r e n d r e c e s n om b r e s q u e fé lo n la fu ite
d e s n om b r e s n a tu re ls , c ’e f t - à -d ir e e n p r o g r e ffio n
a r it h m é t iq u e , i l le s p r e n d a u ffi & e n p r o g r e ffio n g é o m
é t r iq u e & e n p r o g r e ffio n h a rm o n iq u e : m a is a v e c
c e s d e u x d e rn ie r e s p r o g r e ffio n s il f a u t n é c e ffa irem e n t
q u e l a m a g ie fo it d i ffé r e n t e d e c e q u ’e lle é to it dan s
le s quarrés r em p lis p a r d e s n om b r e s e n p r o g r e ffio n
a r ithm é t iq u e ; e lle c o n fifte e n c e q u e le s p ro d u it s d e
to u te s le s b a n d e s fo n t é g a u x , & d an s la p r o g r e f f io n
h a rm o n iq u e , le s n om b r e s d e to u te s le s b an d e s fu i -
v e n t to u jo u r s c e t t e p r o g r e ffio n . C e l i v r e d e M . P o i g
n a r d f a i t é g a lem e n t d e s quarrés d e c e s t r o is p r o g r e f -
n o n s r é p é t é e s .
E n fin M . d e la H i r e n o u s a d o n n é d an s le s Mémoires
de Vacadémie 1 7 0 5 f e s r è c h e r c h e s fu r c e fu je t . Il
c o n fid e r e d’a b o r d le s quarrés im p a ir s . T o u s c e u x q u i
o n t t r a v a i l lé fu r c e tt e m a t iè re o n t t r o u v é p lu s d e d if fic
u lt é d an s la c o n ft r u f t io n d e s quarrés p a ir s ; & p a r
c e t t e r a ifo n M . d e la H ir e le g a rd e p o u r le s d e rn ie r s .
L e p lu s d e d ifficu lté p e u t v e n i r e n p a r t ie d e c e q u ’o n
p r e n d le s n om b r e s e n p r o g r e ffio n a r ithm é t iq u e . O r
d a n s c e t t e p r o g r e f f io n f i le n om b r e d e s t e rm e s e ft im p
a i r , c e lu i d u m il ie u a c e r t a in e s p r o p r ié t é s q u i p e u v
e n t ê t r e c om m o d e s ; p a r e x em p le , é tan t m u lt ip lié
p a r le n om b r e d e s t e rm e s d e la p r o g r e f f io n , le p r o d
u i t e ft é g a l à l a fom m e d e to u s le s t e rm e s .
M . d e la H i r e p r o p o fe u n e m é th o d e g é n é r a le p o u r
le s quarrés im p a i r s , & e lle a q u e lq u e r a p p o r t a v e c
la th é o r ie d u m o u v em e n t c o m p o f é , f i u t ile & f i f é c
o n d e dan s la M é ch a n iq u e . C om m e c e t t e th é o r ie
c o n fif t e à d é c om p o fe t le s m o u v em e n s , & à le s r é -
io u d r e e n d ’a u t r e s p lu s f im p le s ; d e m êm e la m é th o d e
d e M . d e la H i r e c o n fift e à r é fo u d r e e n d e u x quarrés
p lu s fim p lé s & p r im it if s l e quarré q u ’ i l v e u t c o n f
t ru i r e . I l fa u t a v o u e r c e p e n d a n t q u ’ i l n’ é to it p a s fi
a i f é d e d é c o u v r ir o u d ’ im a g in e r c e s d e u x quarrés p r im
it if s d an s le quarré c om p o fé o u p a r f a i t , q u ’i l l’ e ft
d ’a p p e r c e v o i r d a d s u n m o u v em e n t o b liq u e u n m o u v
em e n t p a r a l lè le , & u n p e r p e n d ic u la ir e .
S ’i l f a u t , p a r e x em p le , r em p lir m a g iq u em e n t a v e c
le s 4 9 p r em ie r s n om b r e s d e la p r o g r e ffio n n a tu re lle
le s 4 9 c e llu le s d ’u n quarré q u i a 7 d e r a c in e , M . d e la
H i r e p r e n d d ’u n c ô t é le s 7 p r em ie r s n om b r e s d e p u is
l ’u n it é ju fq u ’ à la r a c in e 7 , & d e l’a u t r e 7 & to u s fe s
m u lt ip le s ju fq u ’à 4 9 e x c lu f iv em e n t ; & c om m e i l n’a
p a r - là q u e 6 n om b r e s il. y 'j o in t o ; c e q u i fa i t c e tte
p r o g r e f f io n a r ithm é t iq u e d e 7 t e rm e s , au ffi-b ien q u e
l a p r em iè r e o , 7 , 1 4 , 2 1 , 2 8 , 3 5 , 4 2 .
’ E n fu it e a v e c f a p r em iè r e p r o g r e ffio n r é p é t é e , il
r em p lit m a g iq u em e n t le quarré d e 7 d e r a c in e . P o u r
c e la i l é c r it d’a b o rd d an s le s 7 c e llu le s d e la p r em iè r e
b a n d e h o r i fo n t a le le s 7 n om b r e s p r o p o fé s , fé lo n te l
ordre'que l’ on- v e u t ; c a r c e la e ft a b fo lum e n t in d iffé r
e n t : & i l e ft b o n d e r em a rq u e r i c i q u e le s 7 n om b
r e s fe u ls p e u v e n t ê t r e a r ran g é s e n 5 0 4 0 m a n ié r é s
’d iffé r e n t e s d an s u n e fe u le b an d e . L ’a r ran g em en t q u i
le u r fe r a d o n n é d an s la p r em iè r e b an d e h o r i fo n t a le ,
.q u e l q u ’i l f o i t , e ft le' fo n d em e n t d e c e lu i q u ’ ils a u ro n t
d an s to u s 'le s a u t r e s p o u r la fé c o n d é b a n d e h o r ifo n -
Tom* X i I I . •
t a ie . I l fa u t m e t t re d an s fa p r em ie r e c e llu le o u le t r o i-
f iem e , o u le q u a t r ièm e , o u le c in q u i èm e , o u le f i -
x i e m e , q u i fu it le p r em ie r d e la p r em ie r e b a n d e h o r i fo
n t a le , & a p r è s c e la é c r i r e le s f ix a u t re s d e fu i t e .
P o u r la t ro if iem e b an d e h o r i fo n t a le , o n o b f e r v e à
l’ é g a rd d e la fé c o n d é le m êm e o rd r e q u ’ o n a o b f e r v é
p o u r la fé c o n d é à l’ é g a r d d e la p r em ie r e , & to u jo u r s
a in fi ju fq u ’à la fin . P a r e x em p le , fi o n a r a n g é le s
fe p t n om b r e s d an s la p r em ie r e b an d e h o r ifo n ta le f e lo
n l’ o r d r e n a tu re l 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , o n p e u t c om m
e n c e r l a fé c o n d é b an d e h o r ifo n ta le p a r 3 , o u p a r
4 , o u p a r 5 , o u p a r 6 ; m a is fi o n l’ a c om m e n c é p a r
3 , la t ro ifiem e d o it c om m e n c e r p a r 5 , la q u a t r ièm e
p a r 7 , la c in q u ièm e p a r 2 , la fix icm e p a r 4 , la f e p -
t ie n îe p a r 6 .
i l 2-13 14 5 6 7
3 N M h 7 2
f <s 17 I 1 2. 3 4
7 1 ! 2 ! 3 4 5 6
3 | 4 j 5 - 6 7 1
4 5 16 17 1 2 3
6 i l 1 11 î 4
L e c om m e n c em e n t d e s b an d e s q u i fu iv e n t la p r e m
iè r e é t an t a in fi d é t e rm in é , n o u s a v o n s d é jà d it q u e
le s a u t r e s n om b r e s s ’é c r iv o ie n t to u t d e fu ite d an s
c h a q u e b a n d e a lla n t d e 5 à 6 à 7 , & re to u rn a n t à 1 ,
2 , 6 ‘c. ju fq u 'à c e q u e c h a q u e n om b r e d u p r em ie r
r a n g f e t r o u v e d an s c h a q u e r a n g a u - d e f lo u s , f é lo n
l’ o r d r e q u i a é t é a r b it r a ir em e n t c h o ifi p o u r la p r e m
iè re .
P a r c e m o y e n i l e ft é v id e n t q u ’a u c u n n om b r e n e
fe r a ré p é t é d e u x fo is d an s u n e m êm e b an d e q u e l le
q u ’ e lle f o i t , & p a r c o n fé q u e n t le s fe p t n om b r e s 1 , 2 ,
3 , 4 , 5 - 5 6 , 7 , é tan t to u jo u r s d an s c h a q u e b a n d e , il s
n e p o u r ro n t f a i r e q u e la m êm e fom m e .
O n v o i t d an s l ’ e x em p le p r é fe n t q u e l’a r r a n g em e n t
d e s n om b r e s d an s la p r em iè r e b an d e a y a n t é t é c h o ifi
à v o lo n t é , o n a p u c o n t in u e r le s a u t r e s b an d e s d e
q u a t re m a n ié r é s d iffé r e n t e s ; & p u ifq u e la p r em iè r e
b an d e a p u a v o i r 5 0 4 0 a r ra n g em e n s d i ff é r e n s , i l n ’y
a p a s m o in s q u e 2 0 1 6 0 m a n ié r é s d iffé r e n te s d o n t l e
quarré magique d e fe p t n om b r e s r é p é t é s p u iffe ê t r e
c o n ft ru it .
I i 2 3 4 5, 6' 7 1 2 3 4 1 5 6 7
2 3 4 5 6 7 1 7 1 2 3 14 5 6
3 4 H 6 7 i 1 6 7 1 2- i 3 4 5
4 T 6 7 1 2 3 5 6 7 • t a 3 4
ï 6 7 i 2 3 4 4 5 6 71 i 2 3
6 7 1 2 3 4 5 3 4 5 f i j f j » i
7 1 2 3 4 5 6 2 3 4 f 6 7 i
L ’ o rd r e d e s n om b r e s d an s l a p r em iè r e b an d e é tan t
d é t e rm in é , f i l’o n p r e n o it p o u r re c om m e n c e r ’ la fé c
o n d é , le fé c o n d 2 o u ïe d e rn ie r 7 , u n e d e s b an d e s d ia g
o n a le s a u r q it to u jo u r s lè m êm e n om b r e r é p é t é , 8c
d an s l’ a u t r e c a s c e f e r o i t l’a u t r e d ia g o n a le ; p a r c o n fé
q u e n t l’ u n e o u l’a u t r e d ia g o n a le f e r o i t fa u ffe , à
m o in s q u e le n om b r e r é p é t é 7 fo is n e fu t 4 , c a r 4 f o is
7 e ft é g a l à la fom m e d e 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , & e n
g é n é r a l dan s t o u t quarré c o n ft ru it d’ u n n om b r e d e
t e rm e s im p a ir s e n p r o g r e f f io n a r ithm é t iq u e , u n e d e s
d ia g o n a le s f e r o i t fa u ffe p a r c e s d e u x c o n ft ru ô io n s ,
à m o in s q u e le n om b r e to u jo u r s r é p é t é d an s c e t t e
d ia g o n a le n e fu t le te rm e d u m ilieu de la p r o g r e f f io n .
I l n ’e ft n u llem e n t n é c e ffa ire d e p r e n d r e d e s t e rm e s
e n p r o g r e f f io n a r ithm é t iq u e ; & o n p e u t f a i r e , fu i -
v a n t la ° r e g le d e M . d e la H ire u n quant magique d e
te ls n om b r e s q u ’o n v o u d r a q u i n e fu iv e n t a u c u n e
p r o g r e f f io n . D e p l u s , lo r s m em e q u ’o n le s p r e n d r a
P P p p ij
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