434 P R O m
; il 1
m ®
tnm = nî-3-
3®. 1 •
l è
Ÿ d — p m
4°. Jm .
W1 H f a i
\. d. - l. p . Tl— — — - -f- I .
1. m
m n — - ot4- - — 1=0
. P P
Equation dont' la réfo-
lution donnera la valeur
de m.
d —p mn
T o u t e s le s q u e ft io n s q u i a p p a r tie n n e n t à la pro grejjion
g é om é t r iq u e fo n t r é fo lu e s d’a v a n c e p a r q u e lq
u ’u n e d e c e s fo rm u le s ; n o u s a llo n s e n f a i r e l’a p p lic
a t io n à q u e lq u e s e x em p le s c h o ilis p r o p r e s à p r o c u r
e r le s é c la ir c if fem e n s n é c e ffa ire s .
Exemple I . E n t r e d e u x n om b r e s d o n n é s p Sc d *
t r o u v e r u n n om b r e q u e lc o n q u e r d e m o y e n s p r o p o r t
io n n e ls g é om é t r iq u e s .
O n c o n n o ît d ire c tem e n t le s p r em ie r Sc d e rn ie r
t e rm e s d e la progrejjion fu p p o f é e , Sc in d ir e c tem e n t le
n om b r e d e s t e rm e s ( r + 2 . ) . L a q u e ft io n f e r a p p o r te
d o n c a u fé c o n d a r t i c le d e la t a b l e , o ù l’ o n t r o u v e
m = y / - = V - : ° r l ’ eX p o fan t t r o u v é , le r e f t e fu it .
Q u e c e fo it e n t r e 2 Sc 5 4 q u ’ o n d em an d e d e u x
3 3
m o y e n s p ro p o r t io n n e ls ',m = z \ / a = y / 2 7 = 3 • E t
l a progrejjion e ft 2 . 6 . 1 8 . 5 4 .
Ex emple I I . U n b a r r i l e f t r em p li d’u n n om b r e c
d e p o t s d e v i n ; c h aq u e jo u r u n v a le t fr ip o n e n t ir e
u n p o t p a r la c l é , q u ’ i l rem p la c e d’ u n p o t d ’e a u q u ’il
v e r f e p a r le b o n d o n : o n d em an d e c om b ie n , a u b o u t
d ’ u n n om b r e n d e jo u r s , i l re ft e r a d e v in d an s le
b a r r i l .
A p r è s le p r em ie r j o u r , la q u an tité d e v in r e lia n t e
e f t ............................................. .................................. c — i .
a p rè s le 2 d. c — 1 — e- ^ - — — — c— 1 x - - p .
a p rè s le 3 e.
© n v o i t , fan s q u ’i l f o i t b e fo in d e p o u f fe r p lu s lo in
P R O
l’ ind uC tion , q u ’ i l ré g n é i c i u n e progrejjion g é om é t r iq
u e , o ù l’o n c o n n o ît / » ( e — 1 ) , / » & « ; c e
q u i ram e n e la q u e f t io n a u 4 e a r t i c le d e l a t a b le .
O n y t r o u v e le d e r n ie r t e rm e ( d u q u e l f e u l i l s ’a g i t
i c i ) o u d z x p m 1 = .c — 1 .
S i l’o n fu p p o fe c — a o , S t n — 4 ; l a q u an tit é d e
v in r e ft a n t e d an s le b a r r i l à l a f in d u q u a t r ièm e jo u r ,
c r e l ia n t le m êm e , l i l’o n d em an d o it c om b ie n il
fa u d r o it r é p é t e r d e fo i s c e m a n è g e , p o u r q u ’ i l fe
t r o u v â t d an s le b a r r i l p r é c ifém e n t a u t a n t d’ e a u q u e
d e v in , c ’e ft -à -d ir e d i x p o t s d e l’u n e & d i x p o t s d e
l ’a u t r e ;
A lo r s o n c o n n o ît ro it p ( 1 9 ) , ^ ( 1 0 ) , S t m ( | 4) .
L a q u e ft io n f e r é fo u d r o it d o n c p a r le p r em ie r a r ti*
c le d e l a t a b le , & l’o n t r o u v e r o it
n = 4 . l m t_^oo2 î î --i i 1 8_7$1£
+ 1 = 1 3 4 j c’ e ft -à -d ir e q u e d u 1 4 e p o t i l n e
fa u d r o it p r e n d r e ( f o i t p o u r le v in q u ’o n t i r e , f o i t p o u f
l ’ e a u d o n t o n le r em p la c e ) q u e la p a r t ie in d iq u é e p a r
la fraCtio n.
Exemple I I I . T r o u v e r la fom m e d e l a progrejjion
in f in ie fî* J o n fu p p o fe « < b.
L e s t r o i s é lém e n s c o n n u s fo n t i c i p ^ ^ B U l
& n ( 00 ) ; c e q u i r am e n e la q u e f t io n a u q u a t r ièm e
c a s d e la t a b l e . . . . m é tan t u n e fraC t io n p lu s p e t it e
q u e l ’u n i t é , r e n d la progrejjion d é c ro iffâ n te : m a is o n
la it q u e p o u r l a r e n d r e c ro if fa n t e i l n’y a q u ’à la r e n -
v e r f e r ; o u p lû tô t i l n ’y a q u ’à r e n v e r f e r la fo rm u le
m êm e q u i d o n n e la v a le u r d e s , Sc l ’ a p p liq u e r fo u s
c e t t e fo rm e . E l l e d e v ie n d r a s = pf -m~ ; o ù i l n’y a
n u l c om p t e à t e n i r dan s le n um é ra t e u r d u fé c o n d
t e rm e ( pma) = jX p z — , q u a n t it é in fin im
e n t p e t i t e , p u ifq u e c ’e ft u n e g r a n d e u r fin ie d iv i fé e
p a r u n e a u t r e in fin im e n t g ra n d e . S u b ft itu a n t d o n c £
a u lie u dep, S t 1 — \ o u , a u l i e u d e 1 — m; o n
a u r a s — ^ — ; c’ e ft -à -d ir e q u ’e n g é -
b—ï
~T
n é f a l e n to u t e progrejjion a in fi c o n d it io n n é e , la fom m
e e ft le p r em ie r t e rm e m êm e , d o n t l e d é n om in a t
e u r a é t é d im in u é d e l’u n it é .
I l fu i t q u e -H- y- y- r? » = T*
- Tjjjj-Çrjbc. =
D e f o r t e q u e p o u r a v o i r u n e progrejjion in fin ie d o n t
la fom m e fo i t u n n om b r e q u e lc o n q u e e n t ie r o u r o m p
u c , i l n’y a q u ’à e n c h o i f ir le p r em ie r t e rm e ^
t e l q u e = c ( c e q u ’ o n p e u t f a i r e d’ u n e in fin it é
d e m a n ié r é s ) , S t d’ a ille u r s p r e n d r e - p o u r l’ e x p o -
fa n t .
Exemple IV . P o u r d o n n e r u n e id é e d e s a c c r o iffe -
m e n s ra p id e s q u e r e ç o i t l a fom m e d’ u n e progrejjion
g é om é t r iq u e , a u b o u t d’ u n n o m b r e , m êm e a ffe z m é d
io c r e , d e t e rm e s , e n v o i c i u n e x em p le fu r la pro grejjion
d o u b le , d o n t la m a r c h e e ft u n e d e s p lu s le n t
e s : i l e ft t i r é , q u a n t à l’h ifto r iq u e , d e l a Mathéma-
tique univerfelle d u P . C a fte l.
L ’ in v e n t e u r d u je u d e s é c h e c s ( y e f t - i l r a c o n t é
p lu s a u lo n g ) fu t p r e ffé p a r fo n r o i q u ’ il a v o i t c o m b l é .
d e g lo i r e , d e lu i d em an d e r u n e ré c om p e n fe à fort
c h o ix S t p r o p o r t io n n é e à la b e a u té d e f a d é c o u v e r t e .
Aprè s, s ’e n ê t r e d é fe n d u lo n g - t em s , i l fe fit a p p o r t e r
u n é c h iq u e r , & le m o n t ran t au p r in c e : o rd o n n e z .,
f e ig n ç u r , lu i d i t - i l , q u ’ i l m e fo it d é l iv r é u n g ra in d e
P R O
b lé p o u r la p r em iè re c a f é , d e u x p o u r la f é c o n d é ,
q u a t r e p o u r l a t r o i f i em e , Sc a in fi d e fu ite e n d o u b
la n t to u jo u r s ju fq u ’à la fo ix a n t e -q u a t r iem e . L a d e m
an d e a u p r em ie r c o u p -d ’oe i l p o u r r a p a ro ît r e tirès-
m o d e f t e , S t le r o i lu i-m êm e e n ju g e a a in fi : m a is a p rè s
u n p lu s m û r e x am e n , i l fe t r o u v a q u ’ e l le e x c é d o it d e
b e a u c o u p fe s fa c u lt é s Sc c e lle s d e s p lu s o p u le n s m o n
a rq u e s . L e c a lc u l fu iv a n t e n fo u rn it la p r e u v e .
i ° . S u iv a n t c e q u i a é t é d it p lu s h a u t , la fom m e
d e to u te progrejjion e ft ^ j '• m a is c om m e i c i y? = 1 •
& m — z ; p m" n ’ e ft q u e m " , S t le d é n om in a te u r
m — i = 2 — 1 = 1 p e u t ê t r e n é g lig é . O n a d o n c
s mm"— 1 = z*4 —1 = 18.446.744.073709.5 5 1.6 15 .
z ° . O n s ’e ft a f sû r é q u ’u n e p e t it e m a r q u e d’un
p o u c e c u b iq u e c o n tie n t a u p lu s 4 5 0 g ra in s d e f r o m
e n t . I l y a 1 7 2 8 d e c e s m e fu r e s d an s u n p ié C u b iq u e ,
q u i fa it le b o iffe a u d e p lu fie u r s e n d ro it s Sc t r o is fo is
c e lu i d e P a r is : le b o iffe a u t r ip le d e c e lu i d e P a r i s
c o n tie n t d o n c 1 7 2 8 X 4 5 0 , o u 7 7 7 6 0 0 g ra in s .
: 3 0. S u p p o fo n s u n e e n c e in te q u a r r é e d ’u n e lie u e
tde to u r ( à 1 4 4 0 0 p ié s la lie u e ) c o n v e r t ie en g r e n ie r ,
Sc q u e le b lé y fo it e n ta ffé à la h a u te u r d e 2 0 p ié s ;
c h a q u e c ô t é d e l’ e n c e in te fe r a d e 3 6 0 0 p i é s , fo n a ire
d e 3 6 0 0 X 3 6 0 0 = 1 2 9 6 0 0 0 0 p ié s q u a r r é s , q u i m u lt
ip lié s p a r la h a u te u r 2 0 d o n n e ro n t 2 5 9 2 0 0 0 0 0 p ié s
cu b iq u e s , o u b o if f e a u x , p o u r la c o n te n a n c e d’u n p a r
e i l g r e n ie r . M a is c h a q u e b o iffe a u c o n t ie n t lu i-m êm e
7 7 7 6 0 0 g ra in s : le n om b r e d e s g r a in s n é c e ffa ire s p o u r
r em p lir le g r e n ie r fu p p o fé e ft d o n c 2 5 9 2 0 0 0 0 0 X
7 7 7 6 0 0 , o u 2 0 1 5 5 3 9 2 0 0 :0 0 0 0 0 .
I l n’y a p lu s q u ’à d i v i fe r le p r em ie r n om b r e 1 8 4
&c. p a r c e d e rn ie r ; l e q u o t ie n t fe r a c o n n o ît r e c om b
ie n d e p a re ils g r e n ie r s fe ro ie n t n é c e ffa ire s p o u r
c o n t e n ir le s g ra in s e n q u e ft io n . O r c e q u o t ie n t e ft
9 1 5 2 2 , a v e c u n e fraC tio n q u ’o n n é g l ig e ic i ; m a is q u i
é v a lu é e fe r o i t p lu s q u e fu ffifan te p o u r f a ire la fo r tu n e
d e f ix m il le h o n n ê te s fam ille s .
Q u i v o u d r o it a p p r é c ie r e n a r g e n t c e t t e é n o rm e
q u a n t it é d e b l é , t r o u v e r o i t , à n e m e t t r e le b o iffe a u
( t e l m êm e q u e n o u s l ’a v o n s fu p p o f é ) q u ’à 2 l i v . d e
n o t r e m o n n o ie , q u e le p r ix d e c h a q u e g r e n ie r fe ro it
5 1 8 .4 0 0 .0 0 0 l i v . & c om m e i l y e n a 9 1 5 2 2 , c e s
d e u x n om b r e s m u lt ip lié s l’u n p a r l ’a u t r e d o n n e ro ie n t
4 7 .4 4 5 .0 0 4 .8 0 0 .0 0 0 l i v . fom m e e x o rb it a n t e & te lle
q u e le s t r é fo r s re u n is d e to u s le s p o te n ta t s d u m o n d e
c o n n u fe ro ie n t é lo ig n é s d’y a t t e in d re . Artiele de M .
R a l l i e r d e s O u r m e s .
P r o g r e s s io n d e s a n im a u x , ( P h y jiq . ) la progrejjion
e ft c e t r a n fp o r t p a r le q u e l le s an im a u x p a ffen t
d ’u n lie u à. u n a u t r e , a u m o y e n d u m o u v em e n t q u ’ils
d o n n e n t à d e s p a r t ie s d iffé r e n te s d e le u r s c o r p s d e fti-
n é e s à c e t u fa g e . I l y a p lu fie u r s e fp e c e s d e progref-
fio n s d o n t le s p r in c ip a le s fo n t le m a r c h e r , le v o l e r ,
& le n a g e r .
i ° . L e r o u lem e n t d an s le s h u ît re s ; 2 0 . l_e t r a în e m
e n t d an s le s lim a ç o n s , le s v e r s d e t e r r e , le s fa n g -
f u e s , &c. 3 ° . le ram p em e n t d an s le s f e r p e n s ; 4 0. l ’at-
t r a t t io n dan s le s p o ly p e s & d an s le s fé c h e s , fo n t d e s
progrejjions d iffé r e n te s d e c e lle s d u m a r c h e r d e s q u ad
r u p è d e s , o u p lu tô t n e fo n t p a s p r o p r em e n t d e s pro-
grejjions. ,
E n e f f e t , le m o u v em e n t p a r le q u e l le s h u it re s d é t
a c h é e s d e s r o c h e r s , & le s a u t r e s a n im a u x e n fe rm é s
d an s d e s c o q u i l le s , fo n t t ra n fp o r t é s d ’u n lie u à un
a u t r e , n’ e ft q u ’u n r o u lem e n t c a u fé p a r le s v a g u e s
d e l ’eavi q u i le s p o u ffe .
L a llu r e d u t ra în em e n t d e s lim a ç o n s , d e s v e r s d e
t e r r e , 6*c. e ft u n m o u v em e n t q u i n ’e ft g u e r e p lu s
c om p o fe q u e c e lu i d e s h u it re s d an s fo n p r in c ip e ,
q u o iq u ’i l a it u n e ffe t p lu s d iv e r fif ié .
L e ram p em e n t d e s fe rp e n s n ’e f t d iffé r e n t d e c e lu i
d e s v e r s d e t e r r e , q u ’e n c e q u e le u r c o rp s n e r e n t re
p a s e n lu i-m êm e , m a is q u ’il p l ie p o u r f e r a c c o u r c ir .
Tome X I I I .
P R O 4} $
L a îiu rê d e s p o ly p e s fe fa it p a r d è s b r a s , q ü i s ’a t ta
ch e n t p a r le m o y e n d e c e r ta in e s p a r t ie s q u i le u r
t ie n n e n t lie u d’o n g le s .
L e s a n im a u x t e r r e f t r e s o n t u n e progrejjion p lu s p a r-
fa ite & p lu s c om m o d e , p a r c e q u ’ e lle le s fa it to u rn e r'
p lu s a ifem e n t & p lu s p rom p tem e n t d e to u s le s c ô t é s .
L e s in ft rum e n s q u i y f e r v e n t , q u i fo n t le s p ié s , o n t
a u ffi u n e f t ru é tu r e b e a u c o u p p lu s c om p o fé e ; le s o n g
le s e n t r e a u t r e s y o n t b e a u c o u p d e p a r t , c a r il s
fe r v e n t p o u r a ffe rm ir le u r s p ié s & em p ê c h e r q u ’ il s
n e g liffe n t ; le s é la n s q u i le s o n t fo r t d u r s , c o u r e n t
a ifém e n t fu r la g la c e la n s g liffe r .
L e u r s p ie s n e fe r v e n t p a s fe u lem e n t p o u r m arch e r,"
m a is a u ffi p o u r g r im p e r , p o u r p r e n d r e la n o u r r i tu r e ,
p o u r t r a v a i l le r a le u r s h ab ita t io n s o u à d e s o u v r a g e s ,
c om m e le s m o u ch e s à m ie l à b â t i r le u r s c e llu le s .
E n fin le s a n im a u x q u i o n t q u a t re p ié s s ’e n f e r v e n t
e n c o re p o u r n a g e r ; la p lû p a r t n e le s r em u e n t p o in t
d’a u t r e m an ié r é p o u r n a g e r q u e p o u r m a r c h e r , & c e
m o u v em e n t d e s p ié s fo u t ie n t to u t l ’a n im a l , p a r l a
ra ifo n q u e le p l i q u ’ ils le u r fo n t fa ir e e n le le v a n t ,
e ft c a u le q u ’il s n e re n c o n t r e n t p a s tan t d ’e a u q u e
q u a n d ils le s r a b a i ffe n t , p a r c e q u ’a lo r s ' il s fo n t p lu s
é te n d u s . L e s a n im a u x q u i o n t d e s p e a u x e n t r e lé s
o n g le s d e s p i é s , c om m e le c a f to r & la lo u t r e , f r a p p
e n t l’ e au e n a b a iffa n t le s p ié s d’u n e m an ié ré enc
o r e p lu s a v a n t a g e u fe p o u r fo u t e n ir le u r c o r p s fu r
l ’e a u , p a r c e q u ’ils le s é c a r t e n t St le s é la r g if fe n t , lo r f -
q u ’ ils le s a b a if fe n t , S t q u ’ il s le s r e ffe r r e n t & le s é t ré -
c iffe n t q u an d ils le s r e le v e n t . Voye^ N a g e r .
A r i f to t e n o u s a la ifie u n l i v r e mp) ijoav r&opîiaç, o u
fu r l e m o u v em e n t p r o g r e f f i f d e s an im a u x . P e t ru s
A lc y q n iu s , P e t r u s d e A l v e r n i a , & P ro c u lu s y o n t
a jo u t é le u r s c om m e n ta ir e s . F r a n ç . Ç o n a n ic i a c om -
p o fé d ix l iv r e s fu r le m êm e fu je t ; ils o n t é t é p u b lié s
à F lo r e n c e e n 1 5 9 1 » in - f o l . D ’a u t r e s o n t e n c o r e
t r a i t e c e tt e m a t iè r e ; m a is le l i v r e q u i m é r it e 1« p lu s
d e t r e l u , c e ft c e lu i d e Jo h . A lp h . B o r e l l i , de motu
animalium. I l a p a ru à R om e e n 1 6 8 0 , in-4 0. L u g d .
Batav. i y i o , S t f in a lem e n t à N a p le s e n 1 7 3 4 , m êm e
fo rm a t . Q u a n t à la progrejjion d e s in fe é t e s , n o u s e n
fe ro n s u n a r t ic le fé p a r é . (Z > / . )
P r o g r e s s io n d e s i n s e c t e s , (H ifi.n a t .d e s In fi)
la progrejjion o u le m o u v em e n t p r o g r e f f if d e s in fe c t
e s , e ft le t r a n fp o r t d e c e s e fp e c e s d ’a n im a u x d’u n
lie u à l ’a u t r e , fo it d an s l’ e a u , fu r t e r r e , o u d an s l’a i r
p o u r le u r s d iv e r s b é fo in s .
C e t t e g ran d e v a r i é t é q u ’o n r em a rq u e dan s le m o u v
em e n t d e s d iffé r e n s a n im a u x , a p a ru m é r it e r l ’att
e n t io n d e p lu fie u r s f a v a n s , m a is il s n ’o n t p a s a ffe z
a p p ro fo n d i le s m o u v em e n s p ro g r e f f if s d e s in f e & e s ,
Sc c e p e n d an t c e fu je t n ’ é to it p a s in d ig n e d e le u r s
re g a rd s .
L a progrejjion des infecles e ft v a r i é e fu iv a n t l’é lé m
e n t q u ’ il s h a b iten t. A u t r e e ft l a m a n ié r é d o n t f e
m e u v e n t c e u x q u i v i v e n t d an s l ’e a u ; a u t r e e ft l a
m an ié r é d e c e u x q u i v i v e n t fu r la t e r r e , & d e c e u x
q u i v o lt ig e n t d an s l ’a ir . D é p lu s c h a q u e e fp e c e a u n
m o u v em e n t q u i lu i e ft p r o p r e , fo i t d a n s l’ e a u , fo i t
fu r t e r r e , fo it d an s l ’a ir .
D e la progrejjion des infecles aquatiques. L e s in fe c t
e s a q u a t iq u e s n e fo n t p o in t b o rn é s à u n fe u l g e n r e
d e m o u v em e n t p r o g r e ffif. G r a n d n om b r e m a r c h e n t ,
n a g e n t , & v o l e n t ; d ’a u t r e s m a r ch e n t & n a g e n t ;
d’ a u t r e s n ’o n t q u ’u n d e c e s d e u x m o y e n s d e s ’a v an c
e r . D e c e u x q u i n a g e n t la p lû p a r t na g en t fu r l e
v e n t r e , & q u e lq u e s -u n s fu r le d o s . P o u r n a g e r p lu s
v î t e , i l y e n a q u i o n t la fa c u lt é d e fe rem p lir d’e a u ,
Sc d e la je t t e r a v e c fo r c e p a r la p a r t ie p o f t é r i e u r e ,
c e q u i le s p o u ffe en a v a n t p a r u n e ffe t fem b la b le à
c e lu i q u i r e p o u ffe l ’é o l ip ile , o u fe it v o le r u n e fu fé e ;•
d’a u t r e s o n t le s jam b e s p o ft é r ie u r e s lo n g u e s Sc fa i t e s
e n fo rm e d e ram e s , d o n t ils im it e n t le s m o u v e -
m en s .
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