7 0 PHI LOSOPHIC NA TUR A L I S
DI Motu ad P S , adeoque r a t ioM a d
Corporum P S . Auferendo hancadatara- ,
■ tione P Q x P R ad P S x P T ,
dabitur ratio P R ad P T, 8c
addendo datas rationed P I ad
P R , & P T a d P H dabitur
ratio P I ad P H atque adeo
punttum P . §±, E. I . . „
Corol. i. Hincetiam ad Loci b
punftorum infinitorum P punaum
quodvis © tangens duci
poteft. Nam chorda P D ubi *
punaaFac©conveniunt,hoc _
eft, ubi A H ducitur per punaum ©, tangens evadit. Quo in cam
ultima ratio evanefcentium I P & P H invenietur ut fupra. Ipfi
igitur A D due parallelam C F , occurrentem B D in F, & in ea ultima
ratione feaam in E ,& cD E tangens erit, propterea quod CF
& evanefcens 1H parallel* funt, & in E & P fimiliter fea*.
Corol. 2. Hinc etiam Locus punaorum omnium P definiri poteft.
Per quodvis punaorum A ,B ,C ,D , puta A, due Loci tangentem
A E & per aliud quodvis punaum B due tangenti parallelam B F
occurrentem Loco in F. Invenie- c
tur autem punaum Fper Lem. xix-
Bifeca F F i n G, & a3a indefinita
A G erit pofitio diametri ad quam
B G & F G ordinatim applicantur.
Hacc A G occurrat Loco in H, &
erit A H diameter five latus tranfi
verfum, ad quod latus reaum erit
ut BGq. ad A G H . Si A G nullibi \
occurrit Loco, linea A H exiftente i\
infinita, Locus erit Parabola & la- I
rum reaumejus addiametrum A G E
pertinens erit Sin ea alicubi occurrit, Locus Hyperbola erit
ubi punaa A & H fita funt ad eafdem partes ipfius G : & Ellipfis,
ubi G intermedium eft, nifi forte angulus A G B reaus fit & infuper
B G quad, acquale reaangulo A G H , quo in cafu Circulus habebitur.
Atque ita Problematis Veterum dequatuorlineis ab Euclide incipri
& ab Apollonio continuati non calculus, fed compofitio Geometrica,
qualem Veteres quxrebant, in hoc Corollario exhibetur.
LEMP
R1 11 U s.
L E M M A XX.
Si Parallelogrammum quodvis A S P Qjxngulis duolus oppofitis A &
P tangit feUionem quamvis Conìcam in punctis k & P '■>&,latori-
bus unius angulorum iìlorum infinite productis A Q., A S, occurrit
eidem fectioni Conica in B & C j a punctis autem occurfuum B (¿y
C ad quìntum quodvisfiectionis Conica punctum D agantur recta
dua B D, C D occurr entes alteris duobus infinite productis parallelogrammi
lateribus P S, P Q in T R : eruntfiemper abficififa
laterumpartes PR & PT adìnvicemin data ratione. Et contra,fi.
partes illa abficijfa funt ad invìcemin data ratione,punctum D tan-
get Sectionetn Conicamperpuncta quatuor A, B, C , P tranfieuntem.
Cas. 1. Jungantur B P , C P & a pundo D agantur re a * du*
D G , D E , quarum prior
D G ipfi A B parallela fit &
occurrat P B , P C A in S
H, I ,G ; altera D E parallela
fit ipfi A C & occurrat
PC, P S , A B in F , K , E :
& erit (per Lemma X VII.) re-
dangulum D E X D F ad re- (
aangulum D G x D H in ratione
data. Sed eft P ü(ad
DEC&n lMJ u tPB a dHB , A
adeoque u t r T ad D H-, Se p ^
viciffim P « M P T ut D E ad D H. Eft & P F ad © F ut R C
ad D C , adeoque ut (/G v e l) P S ad D G, & viciffim P R ad P S
ut D F ad© G -, &conjunais rationibus fit reaangulum P Q x P K
ad reaangulum P S x . P T ut reaangulum © E X© F ad redan-
gulum D G x D H , atque adeo in data ratione. Sed dantur P àC
& P S & propterea ratio P R ad P T datur. ^ E • ©• _
Cas. 2. Quqd fi P R & P T ponantur in data ratione ad mvi-
cem, tum limili ratiocinio regrediendo, fequetur effe reaangulum
© E X © F ad reaangulum © G X © H in ratione data, adeoque
punaum © (per Lemma x y i.ii.) contingere Conicam feaionem
tranfeuntem per punda A ,B ,C ,P . £ ¿E .D .
Corol.