PHI LOSOPHIÆ NA TU R A L I S
SEGTIO V.
Ingenito Orhium uhi umhilicus neuter datur.
L E M M A X V II.
Sì a data Conica SeBtonis punBo quovis P, ad Trapezii alicujus
A B D C , in Conica iHa feBione inferiti, latera quatuor infinite
producía A B , C D , A C ,D B , totidemrectaP Q , P R, P S, P T
in datis angulis ducantur, fngulce adfnguìa ■; rectangulum due-
tarum ad oppojìta duo latera F Q x P R , erit ad r-eBangulurn dm-
tarum ad alia duo laura oppojìta P S x P T in data ratime.
Caí. i. Ponamusprimo líneas ad e .
©ppofita latera dudas parallelas ef- j s
fe alterutri reliquorum laterum, „1 jàfiSjB 3?
putaP g j c P R lateri A C ,S cP S i
acP Tinteti A B. Sintqueinfuper | \
latera duo ex oppoíltis, puta A C I f
& B D , libi invicem paralle- / j D
la. Et retta qux bifecat paralle- / j
la illa latera erit una ex diametri» I. | J
Cónicas ièdionis, Se bilècabit eti-
am R Q Sit O pundum in quo !&
R i? biìecatur, & erit P O ordinatim applicata ad diametrum illam.
Proauc P O ad K ut íit O K asqualis P O, Se erit O K ordinatim
applicata ad contrarias partes diametri. Cum igitur punita A,B,
P & K fint ad Conicam fedionem, S eP K íecet A B in dato ángulo,
erit(perProp.i7& i8Lib. HI Conicorum Apollonìt) redangulum
P Q K ad redangulum A Q B in data ratione. Sed Q K Se P R
aequales funt, utpote asqualium O K , O P , & O ^ , O /fdifferentix,
Scinde etiam redangula P Q J Í Se P J^X P R asqualia funt 5 at-
que adeo redangulum P QycP R eft ad redangulum A Q B , hoc
eft ad redangulum PSyc.P T in data ratione. D.
Cas.
Cas. 2. Ponamus jam Trapezii latera oppofita A C & B D non
effe parallela. Age B d parallelam A C Se occurrentem tum redas
S T in t, tum Cónicas fedioni in d. Junge C d iècantem P Jà(_in r,
& ipii ^.parallelam age D M
fecantem C d in M Se A B in M.
Tarn ob Umilia triangula B T t,
DBN-,efì. B t ieu P ^ a d Ttut
D N ad N B . Sic & R r eft ad
A §¡^ feu P S ut D M ad A N .
Ergo, ducendo antecedentes in
antecedentes & confequentes in
confequentes, ut redangulum PQ_
in Rr eft ad redangulum P S in
Tt , ita redangulum N D M eft A L
ad redangulum AN B ,S e (per C a f 1) ita redangulum P ¿2>in P r eft
ad redangulum P S in P t , ac divifim ita redangulum P g h i P R
eft ad redangulum PSy c .PT . Q_E. D .
Cas. 3. Ponamus denique lineas
quatuor P P R, P S, P T non
effe parallelas lateri bus A C , A B ,
fed ad ea uteunque inclinatas. Ea-
rum vice age P q , P r parallelas
ipfi AC-, Se P j, P t parallelas
ipfi A B -, & propter datos ángulos
triangulorum P P R r,
P S s, P T t, dabuntur rationes
P ^ a d P q , P R ad P r , P S
ad P s, Se P T ad P t j atque adeo rationes compofitas P Q x P R
ad P q x P r , Se P Sy( .PT ad P s X P t . Sed, per liiperius de-
monftrata, ratio P q y c P r z à P s y c P t data eft: Ergo & ratio
P g jC P R z à P S %P T . g . E . D . - '
L E M M A XVIII.
lifdem pojìtis, f t rectangulum duct arum ad oppofta duo latera Tra-
peztt P Q x P Rf t ad rectangulum duct arum ad r cliqua duo late-
ra P S x P T in data ratione j punctum P, a quo linea ducuntur,
tanget Conicam fectionem circa Trapezium deferiptam.
Lì Bllt
P P.ltAVSv
Per