Cord. f. Et quoniam D B , db funt ultimo parallel® & in duplicata
rationeipfarum A D , A d : eruntare® ultimæcurviline® A D B ,
A d b (ex natura Parabolæ) du® tertiæ partes triangulorum re£tili-
neorum A D B, A d b } & iègmenta A B , A b partes tertiæ eo-
rundem triangulorum. Et inde h® are® & hæc fegmenta erunt in
triplicata ratione tum tangentium A D , A d -, tum chordarum &
arcuum A B, A b .
Scholium.
Cæterum in his omnibus fupponimus angulum conta&us nec infinite
majorem effe angulis contaftuum, quos Circuli continent cum
tangentibus fuis, nec iifdem infinite minorem ; hoc eft, curvaturam
ad punftum A , nec infinite parvam effe nec infinite magnam, feu
intervallum A J finit® efiè magnitudinis. Capi enim poteft D B
ut A D 3: quo in cafu Circulus nullus per pundlum^ inter tangen-
tem A D & curvam A B duci poteft, proindeque angulus conta&us
erit infinite minor Circularibus. Et fimili argumento fi fiat D B
fucceffive ut A D \ A D ’, A D 5, A D 7, &c. habebitur feries an-
gulorum contattus pergens in infinitum, quorum quilibet pofte-
rior eft infinite minor priore. Et fi fiat D B fucceflive ut A D X,
A D ì , A D f , A D \ ,A D \ ,A D % , &c. habebitur alia feries infinita
angulorum eontattus, quorum primus eft ejufdem generis cum Circularibus,
fecundus infinite major, 8c quilibet pofterior infinite major
priore. Sed & inter duos quoivis ex his angulis poteft feries
utrinque in infinitum pergens angulorum intermediorum inferi,
quorum quilibet pofterior erit infinite major minorve priore. U t
fi inter terminos A D ' & A D 3 inferatur feries A D ' l , A D - f ,
AD%, AD%, A D Ì , A D Ì , A D ^ , AD \± , A D h 1, &c. Et rur-
fus inter binos quofvis angulos hujus ièriei inferi poteft feries nova
angulorum intermediorum ab invicem infinitis intervallis diffe-
rentium. Neque novit natura limitem.
Qu® de curvis lineis deque fuperficiebus comprehenfis demon-
ftrata funt , facile applicantur ad folidorum fuperficies curvas &
contenta. Præmifi vero hæc Lemmata, ut effugerem tædium dedu-
cendi perplexas demonftrationes, more veterum Geometrarum, ad
abfurdum. Contraftiores enim redduntur demonftrationes per me-
thodum Indivifibilium. Sed quoniam durior eft Indivifibilium hy-
pothefis, & propterea methodus illa minus Geometrica cenfetur*
nnalui demonftrationes rerum fequentium ad ultimas quantitatum
evanefcentium fummas & rationes, primafque nafcentium, id eft, L'«e*
ad limites fummarum & rationum deducere ; & propterea limitum
illorum demonftrationes qua potui brevitate pr®mittere. His enim
idem pr®ftatur quod per methodum Indivifibilium -, & principiis de-
monftratis jam tutius utemur. Proinde in fequentibus, fiquando
quantitates tanquam ex particulis conftantes confideravero, vel fi
pro redis ufurpavero lineolas curvas * nolim indivifibilia, fed eva-
nefcentia divifibilia, non fummas & rationes partium determinata-
rum, fed fummarum & rationum limites femper intelligi -, vimque
talium demonftrationum ad methodum pr®cedentium Lemmatum
femper revocari.
Objedio eft, quod quantitatum evanefcentium nulla fit ultima
proportio; quippe qu®, antequam evanuerunt, non eft ultima, ubi
evanuerunt, nulla eft. Sed &eodem argumento ®que contendi poffet
nullam effe corporis ad certum locum pervenientis velocitatem ul-
timam: hanc enim,i antequam corpus attingit locum, non effe ultim
am i biattingit, nullam effe. Et refponfio facilis eft: Per velocitatem
ultimam intelligi eam, qua corpus movetur neque antequam
attingit locum ultimum & motus ceffat, neque poftea, fed tunc
cum attingit *, id eft, illam ipfam velocitatem quacum corpus attingit
locum ultimum & quacum motus ceffat. Et fimiliter per ultimam
rationem quantitatum evanefcentium,!intelligendam effe rationem
quantitatum non antequam evanefcunt, non poftea, fed quacum
evanefcunt. Pariter & ratio prima nafcentium eft ratio quacum
nalcuntur. Et fumma prima & ultima eft quacum efle (vel
augeri & minui) incipiunt & ceflànt. Extat limes quem velocitas
in fine motus attingere poteft, non autem tranfgredi. H®c eft
velocitas ultima. Et par eft ratio limitis quantitatum & propor-
tionum omnium incipientium & ceffantium. Gumque hie limes
fit certus & definitus, Problema eft vere Geometricum eundem determinare.
Geometrica vero omnia in aliis Geometricis determi-
nandis ac demonftrandis legitime ufurpantur.
Contendi edam poteft, quod fi dentur ultim® quantitatum evanefcentium
rationes, dabuntur & ultim® magnitudines : &ficquan-
titas omnis conftabit ex Indivifibilibus, contra quam Euclides de
Incommenfurabilibus, in libro decimo Elementorum, demonftrayit.
Verum h®c Objeftio falf® innkitur hypothefi. Ultim® ratrones
ill® quibufcum quantitates evanefcunt, revera non funt rationes
quantitatum ultimarum, fed limites ad quos quantitatum fine limi- :
te decrefcentium rationes femper appropinquanti & quas propius
affequi poffunt quam pro data quavis differentia, nunquam vero
F tranf