D i M o t u punita A, B ,C ,D Sc aliquod infinitorum punitorurh P, pu-
Corporum ta pi concipe Conieam feitionem defcribi: dico punctum P hane
femper tangere. Si negas,
junge A P fecantem hanc
Conieam feitionem alibi
quam in P , fi fieri poteit,
puta in b. Ergo fi ab his
punitisp Sc b ducantur in
datis angulis ad lateraTra-
pezii reitæ p q, pr, p s ,p t
Se bki br, bfi bd-, erit
ut bky.br ad b fy b d ita
(per Lem. x v i i ) pqypr
ad ps ypt ) Sc ita (per
Hypoth.) P g y P R ad
P S y P T . Eft & propter
fimilitudinem Trapeziorum b k A f , P f fA S , ut bk ad ¿/ita
P ^ a d P S. Quare, applicando terminos prioris proportions ad
terminos correfpondentes hujus, erit ¿ r ad bd ut P R ad P T . Ergo
Trapezia æquiangula Tir bd, D R P T fimilia fune, & eorum
diagonales D b , D P propterea coincidunt. Incidit itaque b in
interfeftionem reitarum A P , D P adeoque coincidit cum punito
P . Quare punitum P , ubicunque fumatur, incidit in aflìgnatam
Conicam feitionem. E. D .
Corvi. Hinc fi reitæ très P Q , P R, P S a punito communi P
ad alias totidem polmone datas reitas A B , C D , A C , fingulæ ad
fingulas, in datis angulis ducantur, fitque reitangulum fub duabus
duitis P Q y P R ad quadratum tertiæ P S quad. in data rationed
punitum P , a quibus reitæ ducuntur, locabitur in feitione Conica
quæ tangit lineas A B , C D in A ScC-, & contra. Nam coeat linea
B D cum linea A C manente pofitione trium A B , C D , AC-y dein
coeat etiam linea P T cum linea P S : Sc reitangulum P S x P T
evader P S quad, reitæque A B ,C D quæ curvam in punitis AScB,
C Sc D fecabant, jam Curvam in punitis illis coeuntibus non am-
plius fecare poflunt fed tantum tangent.
Scholium.
Nomen Conicæ feitionis in hoc Lemmate late iumitur, ita ut
feetio tam Reitilinea per verticem Coni tranfiens, quam Circularis
bali parallela mcludatur. Nam fi punftum p incidit iw reitam, qua
quævis ex punitis quatuor A , B, C, D junguntur, Conica feitio
vertevertetur
in geminas Reítas, quarum una eft reíta illa in quam pun- L, BEB
ítum p incidit, & altera eft reíta qua alia dúo ex punitis quatuor jun- Primus.
guntur. Si Trapezii anguli duo oppofiti fimul fumpti æquentur
duobus reítis, & lineæ quatuor P ¿ f P R, P S , P T ducantur ad
latera ejus vel perpendiculariter vel in angulis quibufvis æqualibus,,
fitque reitangulum fub duabus duitis P f f y P R æquale reitangu-
lo iub duabus aliis P S y P T , Seítio cónica evadet Circulus. Idem
fiet fi lineæ quatuor ducantur in angulis quibufvis & reitangulum
fub duabus duitis P Q y P R fit ad reitangulum fub aliis duabus
P S y P T ut reitangulum fub finubus. angulorum S,T., in quibus
duæ ultimæ P S, P T ducuntur, ad reitangulum fub finubus angulorum
ÿ>,R, in quibus duæ primæ P g ^ P R ducuntur. Cæteris
in cafibus Locus puniti P erit aliqua trium figurarum quæ vulgo
nominan tur Seitiones Conicæ. Vice autem Trapezii A B C D fub-
ftitui poteft Quadrilaterum cujus latera duo oppofita fe mutuo inflar
diagonalium deeuflant. Sed & e punitis quatuor A, B, C, D
poflunt unum vel duo abire ad infinitum, eoque paito latera fi-
guræ quæ ad punita ilia convergunt, evadere parallela : quo in
cafu Seítio Cónica tranfibit per cætera punita, Sc in plagas paralle-
larum abibit in infinitum.
L E M M A X IX .
InvenirepunBü P, a quo Ji reclce
quatuor P Q , P R, P S, P T ,
ad alias totidem poftione da -
tasreïlas AB, CD , A C , BD, C
fingulæ ad fingulas in datis
angulis ducantur, reBangulü
fub duabus duïlis, P Q x P R,
fit ad reBangulum fub aliis
duabus, P S x P T ,in data ra-
tione.
Lineæ A B, CD, ad quas reitæ duæ P Q, P R , unum reitan-
gulorum continentes ducuntur, conveniant cum aliis duabus pofitione
datis lineis in punitis A, B ,C ,D . Ab eorum aliquo A age
reitam quamlibet A H, in qua velis punitum P reperiri. Sécet ea
lineas oppofitas B D , C D , nimirum B D in H Sc C D in I, Sc ob
datos omnes ángulos figuræ, dabuntur rationes P gfizà P A ScP A
ad