De Motu
G o r p o r u m P R O P O S I T I O XV. T H E O R E M A XII.
Si Medii denjìtas in locìs Jingulis jì t reciproce ut dijlantia locorum
a centro immobili, fitque <vis centripeta in duplicata ratione den-
Jìtatis : dico quod corpus gyrari potè PI in Spirali, qua radios
omnes a centro ìlio duUos ìnterfecat J in anòe'ulo dato.
Ponantur qua; in fuperiore Lemmate, & producatur ¡yj^ad V,
ut ile S V tequalis S P . Tempore quovis, in Medio refiftente, de-
icribat corpus arcum quam minimum P Q, Se tempore duplo ar-
cum quam minimum P R -, Se decrementa horum arcuum ex reii-
ftentia oriunda, five defe-
¿his ab arcubus qui in Medio
non refiftente iifdem
temporibus deicriberen-
tur, erunt ad invicem ut
quadrata temporum in
quibus generantur : Eft
itaque decrementum arcus
pars quarta decrementi
arcus P R. Unde
etiam, fi area; P S Q ae-
qualis capiatur area ÒS r ,
erit decrementum arcus
P aquale dimidio lineolae R r -, adeoque vis refiftentia: & vis centripeta
funt ad invicem utlineoke\R r Se T ^quas fimul generane,
Quoniam vis centripeta, qua corpus urgetur in P, eft reciproci ut
S P q, Se (per Lem. x.Lib. i,)lineola TQ3 qux vi illa generataceli
in ratione compofita ex ratione hujus vis & ratione duplicata tem-
poris quo arcus P defcribitur, (Nam refiftentiam in hoc cafu,
ut infinite minorem quam vis centripeta, negligo) erit
id eft (per Lemma noviffimum) ì P g j x S P , in ratione duplicata
temporis, adeoque tempus eft ut P Q x V S P , Se corporis velocitas,
qua arcus P i^ illo tempore deferibitur, ut ieu
l/SP* ^°C e^’ *n ^u^^uP^cata ratione ipfius S P reciproce. Et limili
argumento, velocitas qua arcus ^ R deicribitur, eft in iubd
u p l i c a t a
duplicata ratione ipfius S Q reciproce. Sunt autem arcus illi P Q Libir
QR ut velocitates deicriptrices ad invicem, id eft, in fubdupli- Slc"HD“ì'
cata ratione S Q ad S P , five ut A ^ a d V S P xS£>; Se ob xqua-
]es ángulos S P Q , S Q r Se xquales areas P S £>, gj$r, eft arcus
P àLad arcum £>j ut S ^ a d S P . Sumantur proportionalium
confequentium differenti«, & het arcus P Q ad arcum Rr ut
ad S P - V S P x S g , feu \ V nam pun&is P Se ^coeunti-
hus, ratio ultima S P — V S P X S Q ad \ V fit «qualitatis.
Q u o n iam d e c rem e n tum a rc u s P£2¿ ex re f if te n t ia o r iu n d um , five
hujus d u p lum R r, eft u t re f ifte n t ia Se q u a d ra tum tem p o r is c o n -
junftim; erit refiftentia ut J ^ x 'S P ' Erat aütem y ^ ad R r ->
R r ìV § )
« i £.»d n ' i k & ¡ - ‘v a j m - F fit ■i-¿ia.s:P 'x S 7í flvc
n[ ^ .-p Namque punetis P & i^coeuntibus, S T Se S Q
coincidunt, Se angulus P V g p ñ t reétus; & ob fimilia triangula
PVQ, P SO , fit P Q ad ì ut O P ad ì OS. Eft igitur
- ' ut refiftentia, id eft, in ratione denfitatis Medii in P
O P x S P q
& ratione duplicata velocitatis conjunftim. Auferatur duplicata
ratio velocitatis, nempe ratio Se manebit Medii denfitas in
OS
<p ut y xS T 7' ^ etur Spiralis» Se ob datam rationem OS ad
OP, denfitas Medii in P erit ut j -p . In Medio igitur cujus
denfitas eft reciproce ut diftantia a centro S P , corpus gyrari potei!:
in hac Spirali. JjJ. E. SD.
Corol. ij Velocitas in loco quovis P ea femper eft quacum corpus
in Medio non refiftente gyrari poteft in Circulo, ad eandem a
centro diftantiam S P .
O S
Corol. 2. Medii denfitas, fi datur diftantia S P , eft ut yjp) fin
O §
diftantia illa non datur, ut Et inde Spiralis ad quamlibet
Medii denfitatem aptari poteft.
Corol. $, Vis refiftentiae in loco quovis P , eft ad vim centripetam