bernent ${ fans refte : mais il eft facile de transformer
ces quantités en parties aliquotes de la livre ;
car ç) f. = 4 f. + parties aliquotes de la livre.
La preuve de la multiplication fe fait en divifant
le produit par un des deux fadeurs, l’autre fadeur
doit venir au quotient fi l’opération eft bien faite ;
favoir le multiplicande, fi on a divifé par le multiplicateur
, & le multiplicateur fi on a divifé par le
multiplicande. Ou bien mettez le multiplicateur en
la place du multiplicande, & faifant l’opération à
l’ordinaire, vous devez retrouver le même produit
qu’auparavant : car il eft clair que 6 x 8 ou 8 x 6
produifent également 48*
La multiplication en'croix eft une méthode promte
& facile pour multiplier des chofes de différentes
efpeces ou dénominations par d’autres de différente
efpece aufti, par exemple des lois & des deniers par
des fols & des deniers, des piés & des pouces par
des piés & des pouces ; ce qui eft fort ufité dans la
mefure des terreins. En voici la méthode.
Suppofons qu’on ait 5 piés 3 pouces à 5 3
multiplier par. 2 piés 4 pouces ; dites , 2 4
2 fois 5 piés font 10 piés , & 2 fois 3 pou- 7ô 6~
ces font 6 pouces ; enfuite 4 fois 5 font 20 j g
pouces, ou 1 pié 8 pouces ; enfin 4 fois 3 1 j
font 12 parties de pié , ou 1 pouce: la — *— *
fomme de ces trois produits fera 12 piés ^
3 pouces.
On pourroit encore faire cette opération d’une
maniéré affez commode , en confidérant les pouces
comme des fra&ions de pié ; ce qui réduiroit l’exemple
propofé à cette forme, 5 piés ^ X 2 piés ÿ ; car
3 pouces font le quart d’un pié, & 4 pouces en font
le tiers ; après quoi réduifant chaque terme à une
feule fraûion, l’on auroit ~ x j — = ï 2, + A
= 12 -j- \ ; produit qui revient précifément au même
que le précédent, puifque jr de pié = 3 pouces.
La multiplication, en Géométrie, fe fait en fup-
pofant qu’une ligne a b (PI. Géométr.fig. 5).) qu’on
appelle décrivante , fe meuve perpendiculairement
le long d’une autre , qu’on appelle la directrice ou di-
rigente. Voye£ DÉCRIVANT, &c.
Par ce mouvement la décrivante forme le reftangle
-a dcb ; & fi on divifé la décrivante & la dire&rice
en un certain nombre de parties égales, on formera
parle mouvement autant de petits re&angles qu’il y
a d’unités dans le produit du nombre des parties de la
décrivante par le nombre des parties de la direélrice ;
par exemple,ici, 21. Voy.Directrice. En effet,
quand la ligne a b a parcouru une partie de a d , les
trois parties de la ligne a b ont formé trois petits
rectangles dans la première colonne. Quand la ligne
a b a parcouru deux parties de a d , il y a trois rectangles
nouveaux de plus, & ainfi de fuite. C’eft
pour cette raifon que la multiplication s’exprime
fouvent en latin par le motducla, conduite ; & c’eft
-delà que vient auffi le mot produit. Ainfi pour dire
-que a b eft multiplié par b c , on dit a b ducla in bç ,
parce qu’on imagine qu’une de ces lignes fe meuve
perpendiculairement & parallèlement le long de
l’autre, pour former un reCtangle : de forte qu’en
Géométrie rectangle & produit font la même chofe.
Maintenant comme dans toute multiplication l’unité
eft à un des fadeurs comme l’autre eft au produit
, on peut faire ainfi la multiplication en lignes.
Suppofons qu’on ait a b— 2 (fig. /o.) à multiplier
par ad-=± 3. On fera un angle à volonté;fur un des
■ côtés de cet angle , on prendra la ligne a y. = 1 , &
fur le même côté on prendra a d pour le multiplicateur
( 3 ) ; enfuite on prendra lur l’autre côté de
l ’angle a b (2) pour le multiplicande ; on tirera u b,
& par le point d la ligne d ç parallèle à u b : je dis
que a c eft égal à 6, & eft par conféquent le produit ;
car a u : a d \ \ a b : a c.
La multiplication algébrique eft beaucoup pi vis fim-
ple que la numérique ; car pour multiplier une grandeur
algébrique par une autre, il ne s’agit que d’écrire
ces quantités les unes à côté des autres fans
aucun ligne ; ainfi a multiplié par b produit a h ; cd
multiplié par m donne cdm : mais pour s’exprimer
avec plus de facilité, on obfervera que le-ligne x lignifie
multiplié par, & que celuhci = veut dire égale
ou vaut : ainfi a x b = a b , fignifient que a multiplié
par b égale a b , &c. où l ’on voit que dés quantités
algébriques font cenfées multipliées l’une par l’autre
, dès qu’elles font écrites les unes immédiatement
à côté des autres , fans aucun ligne ; ce qui eft une
— pure convention : mais les grandeurs algébriques
font prefque toujours précédées de coëfficiens & dés
lignes -J- ou —. Foye^ Coefficient. 6* Signe. En
ce cas i° . + 3 c dx-\- 5 bm — -\- 1 y * c dm , en di-
fant+ x + = + ; enfuite 3 X 5 ==15; enfin c d xbm
'*=zb'cd m ; enforte que -f- 15 b c dm eft le produit de
+ 3 c d x + jbm.
2°. Si l’on a une grandeur négative à multiplier
par une grandeur pofitive, le produit doit être af-
feété du ligne — : ainfi — 2 * X + 3 « ƒ== — 6 abdf,
en difant — X + = — ; après cela 2 X 3 == 6 , que
l ’on écrira à la fuite du ligne —, & b d x « ƒ — ab d f :
le produit total de — 1 b d x + ^ a. f eft donc — 6
a b d f . .
30. Le produit d’une grandeur pofitive par une
négative doit aulfi être affeéié du ligne — ; c’eft pourquoi
+ 4 r s x —bd = — 4b d r s ; ce que l ’on détermine
en difant -{- X — =$5p: 4 X 1 (que l’on fuppofe
toujours précéder la quantité qui n’en eft pas accompagnée)
== 4 : enfin r s x b d=. b,dr s. Ainfi le
produit de + 4 r s par — b d = — 4 * dr s ; ce qui
fuppofe que + x ¥*'■ ■— — ; nous allons bientôt le
démontrer.
40. Deux grandeurs négatives ou affeftées du ligne
— donnent - f à leur produit, 'lorfqu’ellés fe
multiplient ; — 3 b d x — 4 d=.-\- \zb d : & c’eft ce
qui ne paroît pas aifé à concevoir. Comment moins
par moins peut-il donner plus? Examinons la maniéré
dont les lignes agiffent les uns fur les autres.
Démonjlration des réglés précédentes. La multiplication
des coefficiens ne fait aucune difficulté ; ce font
des nombres qui fe multiplient, comme dans l’Arithmétique
; pelle des quantités algébriques eft de pure
convention. Il n’y a donc que la multiplication des
fignes qui mérite une bonne explication ; il faut
prouver que -f- x + = + ; que + X — = — ; que
— X + = — ; que — X — = + .
i°. + 3 X.+ 4 doit-donner + 1 2 .; car le multiplicateur
+ 4 étant affefté du ligne -f-, montre qu’il
faut prendre la quantité + 3 pofitive autant de fois
qu’il eft marqué par 4 ; c’eft-à-dire qu’il la faut prendre
4 fois telle qu’elle eft : or 4 fois x 3 = + 3 + 3
+ 3 + 3 = + ainfi + X + = + .
20. + 3 X — 4 = — 12. Remarquez que le multi-:
plicateur 4 étaht affeûé du ligne — fait connoître
qu’il faut retrancher la grandeur -}- 3 quatre fois ; or
pour retrancher du politif il faut mettre du négatif :
on écrira donc — 3 — 3 — 3 — 3 = — 12. On voit
donc pourquoi -f- x — = —.
30. — 3 X + 4=34Ji2; car le multiplicateur 4
étant politif lignifié qu’il faut prendre — 3 quatre
-fois, & par conféquent écrire — 3 — 3 — 3 — 3 =;
— 12: ainfi —x + = ~.
5°. — 3 X — 4 = -f- 12. On doit toujours fe régler
fur le ligne du multiplicateur ; fon ligne étant négatif,
le multiplicateur — 4 indique qu’il faut retrancher
— 3 quatre fois : or pour ôter — on écrit -j-
(Foye^ Soustraction.) Donc pour ôter — 3 quatre
Ibis, on écrira + 3 + 3 + 3 + 3 = + . Ce n’eft
pas* à l’apparence qu’il faut s’en tenir ; on doit
toujours remonter à la valeur fondamentale des fignes.
On a donc tout ce que l’on s’étoit propofé de
démontrer. v
Ainfi on peut établir une réglé générale très-fim-
ple pour .1 z.multiplication des fignes. Toutes-les fois
que,les quantités qui fe multiplient ont le -même- figne ,
on écrira - f au produit (puifqüé - f X + = + , & que
X — = + ) ; mais on écrira-—- , quand elles amont
des fignes dijférens ; car - f x - = - f & - X + = - ,
ainfi qu’on l’a démontré ci-delfus.
Nousivenons de donher lés •réglés de la mültipli-
catiçn par rapport aux -monômesc’eft-à-dire aux
quantités algébriques qui n’ont qu’un terme quant
aux polinomes, c’cft-à-dire aux quantités algébriques
qui ont-pliifieurs termes , il faut, multiplier-,
comme dans l’Arithmétique, tous les termes dû multiplicande
par chaque térme du multiplicateur ; ori
cherche enfuite la fomme-de tous ces différens produits
, en réduifant les quantités femblables , s’il y
en a. Koye^ Addition & Réd u c t io n . Exemple:
aa - z a c + c r
' ' X
. ' *F— z a '- c+ d j,}
___ — a? c + 2 ac7- — "ci
ai ~ 3 al c + 3 — Çî....produit total.
Pour multiplier - 2 a,c + c c par a - c , on écrira
le multiplicateur c fous le multiplicande.« a
‘- z a c + c c , comme on le voit dans l’exemple, &
tirant une ligne , on dira a a x q = a 3 , on. écrira a3
en fupprimant le ligne + . Enfuite en multipliant le
terme — 1 «c par « , en difant — Xs-h=-:— . 2 aexa.
' == 2 a7- c : on écrira donc — 2 a7- c à la fuite de a3.
On continuera de multiplier-j- cc para, afin d’avoir
+ a c^, que l’on mettra à la fuite de — 2 a7- c fous la
ligne. Et.fi le multiplicande contenoit un plus grand
nombre de termes , on ne finiroit pas de multiplier
par a , à moins que tous les termes du multiplicande
n’euffent été multipliés par ce premier terme du multiplicateur.
Quand le premier terme du multiplicateur
a fait fon office , on fait agir de même le fécond
terme — c fur tous les termes du multiplicande ; ainfi
I on dira a a x — c = — a* c , que l’on écrira, ainfi
qu’il eft marqué dans l’exemple. On multipliera en-
fuite — 2 a c par — c , en difant — X — = + .2,a c x c
— z a c7- l e produit de — 2 a c par — c eft donc
+ z a c 7 ; enfin + c e x — c = — c3. Tous les termes
du multiplicande ayant été multipliés par chaque
terme du multiplicateur, on tirera une ligne fous les
produits, qui en font-venus ; & faifant la redu&ion
de ces produits, on trouvera que le produit total eft
a3 - 2 a * c + 3 a c 7 — c3.
On voit par cet exemple qu’on ne multiplie jamais
qu’un monome par un monome ; ainfi la multiplication
<\es.po\ir\omss eft plus longue, mais elle n’eft pas
différente de celle des monomes : un plus grand nombre
d, exemples feroit donc inutile, fi ce n’eft pour
s exercer ; mais l’on peut s’en donner à foi-même
tant que l’on voudra. (£ )
Nous ajouterons ici quelques réflexions fur la multiplication
tant arithmétique que géométrique.
Dans la multiplication arithmétique , un des deux
nombres eft toujours ou eft cénfé être un nombre
abftrait ; on en a vû ci deffus un exemple dans le cas
des 45 ouvriers , qui ont fait chacun 26 toifies; le
produit eft 26 toifes multipliées non par 45 ouvriers,
mais par le nombre abftrait 45. Ainfi la multiplication
arithmétique eft toûjours d’un nombre concret
par un abftrait, ou d’un nombre abftrait par un abftrait.
C eft donc une queftion illufoire, que de pro-
pofer, comme l’on fait quelquefois, aux commençant
de multiplier dçs. liv r e s fo u s , & deniers, par
Tome X . ‘ r
des livres, fous & deniers. Voycr C oncret & Dr
VISION.
r . L'dgard de la multiplication geométrirrue , elle
n eft qu improprement appellée telle ; on ne multiplie
point des lignes par dès lignes, mais on multi-
plie le nombre des divifions ftippofées dans la ligne
u ft part celui des di vilions d’une autre ligne à ^faites
avec la meme cdmrnune-mëftire ( fo r e t Mesure-) •
& de cés rtolnbres indique lé nombre dé
petitsquarres que contient le reBangle a b c d -fur
quoi voysç la (ïn de Y article Eq ua tio n. ■ ti
A Jlega'rd du calcul qu’on k fait ci delfus, & par
lequel,on trouvé la ligne a c-(fig. lo Géomit.) = 6
comme^tantle produises ëeiix lignes a i , a i , celé
llgpme feulement que cette ligne eft égale au pro-
duat.de.«.* par a d , divifé ;par la ligne d u qu’on a
pnfe pour l’unité ; ou qu’elle eft telle due fon pro-
duit par a u eft égal an produit de ‘a b par a d, fo y e r
PARULEElEOGRAMMEV ■ 1 ' x
Sur la- multiplication des fraftidiis. fo r t? Fr &c -
TION‘ ér-D'ÊCIMAL,.1 ' ; ■
_MULTIPEICATI ON dés PLANTES ; C Jardinait.}
eft leur vraie prdduâion j e ’eft le moyen que la nature
leur a-donné tle feTeproduii é fans l’union des
lexes, que quelques’ auteurs veulent admettre.
La graine eft-le moyen généra! qui perpertie les
végétaux, eux-mêmes la ■ prôduifént ; & fi l’on con-
fldere qu’une feulé gouffëdè'pavot contient plus de
millegramcs, & qu'un pié ayant plufieurs tiges donne
plufieurs goulfes, on trouvera ce produit im-
menfe.
Les plantes ligneufes ont encore une voie plus
courte pour fe multiplier; les unes par les boutures 1
jetton$ , rejettons , lions, qu’elles pouffent à leurs
pies, & qu on levé tout enracinés ; les autres par
des boutures , plançons , drageons , croffettes ou
branches qu’on coupe fans racines, & qu’on aiguife
par un bout,pour les ficher en terre ; enfin les marcottes
& les provins qui font des branches que l’on
couche en terre pour leur faire prendre racines en
reproduifent plufieurs autres.
Les ojgnons ou cayeux qui viennent au-tour des
gros , & qu’on détache pour les replanter ailleurs ,
multiplient les plantes bulbeufes plus promptement
que fi on les femoit.
Les plantes fibreufes ou ligamenteufes, outre des
graines très-abondantes, ont encore à leurs piés des
talles qui les multiplient à l’infini.
Un moderne ( Agricola , Agriculture parfaite ;
Paë ' 22 °* ) nous a donne la multiplication uni verfelle
des végétaux, en joignant l’art à la nature ; il prétend
que la partie inférieure de l’arbre a de même
que la fupérieure toutes les parties effentielles à la
végétation : félon l’ordre de la nature , la tige a en
foi un fuc d’oii peuvent provenir des racines ; & on
voit aux branches & aux feuilles des petits filets qui
approchent des racines, & qui reprennent en terre ;
la branche a donc en foi des racines enfermées matériellement
, donc la racine eft dans la tige ; de même
une racine a de petits noeuds caïeux, des coupes
ou gerfures qui marquent les cercles des années d'oii
peuvent naître de petites tiges avec leurs branches:
fi les tiges n’étoient pas dans les racines , au moins
matériellement, elles ne pourroient pas en pouffer
dehors.
Il conclut de-là 2°. qu’on peut greffer plufieurs
rameaux fur une groffe racine féparée du corps de
l’arbre, & replanter à fleur de térre fans féparerles
greffes que lorfqu’elles font bien reprifes. 2°. Qu’on
peut également faire les mêmes greffes fur une racine
découverte qui tient à l’arbre, en la coupant enfuite
par morceaux énracinés où tiendront les greffes. 30.
Qu’une grande branche coupée en plufieurs morceaux
qui auront chacun up oeil, étant mife en terre
Q Q q q q i )