' M A X
lement, parce qu’elle ne contiendra d’abord qu’une
feule fluxion , par laquelle on pourra la divifer ; &
cette équation en fluenteS étant combinée avec la
propofée pour faire difparoître une dé leur variable
, donnera une réfultante déterminée, d’où l’on
tirera , félon qu’on le jugera à-propos, ou la pofi-
tion du maximum cherché , ou fa quantité. Eclair-
ciffons cette méthode par deux exémples.
Nous fuppoferons dans le premier, qu’il s’agit de
déterminer les plus grandes ou plus petites ordonnées
d’une courbe algébrique. Puifque dans les courbes
qui ont un maximum ou minimum, la tangente
TM change enfin en D E , &?■ devient parallèle à
l ’axe. PI. d'Anal.fig. 4 & z 6. Il faut donc que dans le
cas du maximum ou du minimum la foutangente P T
devienne infinie. Mais cette foutangente P T == >
■ ^;donc y-£-— oo,c’eft-àdire(au-moins.y reliant fini,
ce qui fait le feul cas du maximum ou minimum proprement
dit ) que d x — oc par rapport à d'y, ou bien
que dy —.o par rapport à dx. Nous prendrons donc l’équation
des fluxions de la propofée,& négligeant tous
les termes affe&és de d y , que nous devons faire
en effet = 0 , nous diviferons les autres termes par la
feule fluxion d x qu’ils contiendront, & nous ferons
de plus ce quotient de cette divifion égal à
zéro ; cela donnera une nouvelle équation fluerite
à comparer avec la propofée, pour en tirer au
moyen de leurs réductions en une feule, une résiliante
en x ou en y feulement, félon qu’on l’aimera
le mieux, laquelle fervira à découvrir ou la
valeur de x convenable au maximum ou minimum
cherché , ou bien la valeur elle-même de ce maximum
ou minimum j fauf à employer, lorfque les cir-
conftances indiqueront de le faire , des moyens
abrégés au lieu de la réduction de deux équations
en une feule.
Suppofons en fécond lieu, qu’il faille couper une
'droite A B {fig. 6. ) au point D , de maniéré que
le reCtangle des deux parties A D ôc D B fe trouve
être le plus grand qu’il foit poflible de conftruire
de la forte. Nous nommerons A B , a , A D , x ;
JB D fera donc a ~ x 8a A D x D B = ax — x x
fera la quantité qui doit être un maximum; fa différentielle
ou fa fluxion doit donc être = 0 ; or fi nops
nommons y la quantité variable qui doit devenir
un maximum, nous aurons en
général ..................................... a x — x Xç=sy. '
Dont l’équation de fluxion fera a d x —z x d x z z d y .
Et négligeant d y qui e f l= o , a d x — z x dx-xz o.
•Et par confequent . . . . a — z x = 0.
Ou bien e n f i n ....................... x = \ a.
D e forte qu’il n’y a , pour réfoudre le problème,
qu’à couper la ligne A B en deux parties égales ;
donc le quarré de la moitié de A B eft plus grand
que tout le reCtangle qu’on pourroit faire de deux
autres parties quelconques de A B , lefquelles prises
enfemble feroient égales à A B.
On trouve dans les Mém. deVacad. des Sciences de
Paiis de 1706 un mémoire de M. Guifnée , qui contient
plufieurs éclairciffemens fur cette méthode.
C e mémoire, qui peut être utile à certains égards,
n’eft pas exempt d’erreurs. Elles ont été relevées par
'M- Saurin , dans un mémoire imprimé en 1713.
La méthode maximis & .minimis eft fondée fur
itn principe bien fimple. Quand une quantité va
d’abord en croiffant, & enluite en décroifTant, fa
différence eft d’abord pofirive, & enfuite négative ;
•c’eft le contraire fi elle va d’abord en décroifTant,
& enfuite en oroiffant : or une quantité qui pafle du
pofitif au néga’tif, ou du négatif au pofitif, doit dans
le paffage être = 0 ou — à l’infini. Le paffage par
zéro eft le plus ordinaire ; c’eft pour cela que la re-
•y,le la plus commune pour trouver les rnaxima 6c les
M A X
minlmci , eft de faire la différentielle = 0 ; mais il y
a aufïi des cas où il faut faire la différentielle = 00.
Il eft vrai que dans ces derniers cas, il y a de plus
un point de rebrouffement à l’endroit du maximum
ou du minimum. Voye^fig. 6. Ainfi on peut dire que
les vrais points de maximum ou de minimum confi-
dérés comme des points (impies ÔC qui n ’ont aucune
autre propriété, font ceux où o.
Cependant le cas de dy = o ne donne pas nécef-
fairement un maximum ou un minimum ; car dy=.o
indique feulement que la tangente eft parallèle à
l’axe, comme dy= 00 indique feulement que la tangente
eft perpendiculaire à ce même axe. Or fi le
point où la tangente eft parallèle à l’axe, étoit un
point d’inflexion, comme cela peut arriver dans plufieurs
cas, alors il eft aifé de voir que l’ordonnée paf-
fant par le point oï\dyz=.o, ne feroit ni un maximum
ni un minimum. Pour éclaircir ces difficultés, fup-
pofons , ôc imaginons une nouvelle courbe
qui ait Z pour ordonnée, ôc pour abfciffes les ab-
feiffes X de la première. On remarquera que pour
qu’il y ait un maximum ou un minimum au point
où 1 = 0, il faut que les ordonnées z au-deffus 6c au-
deffous de ce point, foient de différens lignes ; c’eft-
à-dive que fi on tranfporte en ce point l’origine des
coordonnées, voyez Courbes & T ransformation
des Axes, ôc qu’on nomme les coordonnées
nouvelles u ôc t , au lieu de-* Ôc { , il faut que l’équation
en k & en t , foit telle que quand u eft infiniment
petite, foit pofitive, foit négative, on ait
u m — A t n ,m 6 c u étant des nombres entiers po-
fitifs 6c impairs, voyez Rebroussement : or cela
fe peut reconnoître par la réglé du parallélogramme
dé M. Newton. Voyez Série ou Suite, & Parallélogramme.
Dans tout autre cas que celui des nombres m &
n impairs, le point où £ = 0 ne fera point un maximum
: de plus pour diftinguer fi ce point donne un
maximum ou un minimurii, il n’y a qu’à voir fi z eft
pofitif ou négatif avant d’être = o. Dans le premier
cas l’ordonnée fera un maximum; elle fera un minimum
dans le fécond : or le premier cas aura lieu û
A eft négatif, & le fécond s’il eft pofitif.
Voilà pour le calcul de dy—o. A l’égard du calcul
de dy = 00, nous obferveroris d’abord que c’eft
une façon de parler très-impropre,que de faire une
différentielle == 00, puifqu’une différentielle ell-une
quantité infiniment petite, ou confidéréé comme
telle. V o y e z Différentielle. Ce n’eft point
qu’on fait = 00 ; c’eft le rapport de d y à d x ou z -
or dans ce cas ii faut que l’équation en u 6c en t y
foit telle que quand u eft infiniment petite, foit pofitive
, foit négative, on ait u mz=.A tn ,m exprimant
un nombre négatif impair, 6c /z un nombre
pofitif impair. V o y e z Branche.
Nous ne faifons ici que donner l’efprit de la méthode.
Ceux qui délireront un plus grand détail,
peuvent recourir à l ’analyfe des courbes de M. Cramer
, où cette matie.re eft bien traitée. Voyez le ch.
x j.d e cet ouvrage. Souvent au relie la nature du
problème feul, fans aucune autre confidération, indique
fi d y — o , donne réellement un point de maximum
ou de minimum, 8c fi c’eft le premier castpu
le fécond. Par exemple, fi on propofé de trouver
un point dans un demi-cercle, tel que le produit des
deux lignes menées de ce point aux extrémités du
diamètre, foit un maximum , on voit bien que la fo-
lution de ce problème donnera en effet un maximum,
& de plus que ce fera un maximum, 8c non pas un
minimum ; caria quantité qu’on cherche eft évidemment
égale à o à Chacune des deux extrémités du
diamètre ; 6c cette quantité eft toujours réelle entre
ces-deux extrémités : donc il y a un ou plufieurs
points où elle eft néceffairementdans la plus-grande
valeur
M A Y
valeur poflible : car cela doit arriver néceflairement
à une quantité qui part de ©, 8c qui y retourne.
Il y a encore une attention à faire dans la recherche
du maximum ou du minimum, c’eft qu’après
avoir trouvé l’équation en x 9 qui donne l’abfciffe
répondant au point cherché, il faut voir non-feulement
fi cette valeur de x eft réelle, mais encore fi
étant fubftituée dans l’équation de la courbe, elle
donne pour y une valeur réelle ; fans ces deux conditions
, il n’y a point de vrai maximum ni minimum.
Voyez Équation , Évanouir , Imaginaire ,
Ra c ine, Courbe, & c .
Nous citons ici Carticle Évanouir , parce qu’il
fournit des méthodes fûres pour faire évanouir telle
inconnue qu’on juge à-propos d’un certain nombre
d’équations, ÔC que par confequent ii fera très-utile
dans cette recherche: caron a i° . l’équation de la
courbe en 6c eny. x°. L’équation du maximum aufli
en x 6c en y . Je fuppofe dans cette équation a au
lieu de x 9 6c b au lieu d e y , 8c par la comparaifon
des deux équations, on aura la valeur de a 6c celle
de b par deux équations qui n’auront chacune que a?
ou y d’inconnues. 30. On a de plus une équation
entre x 6c z » en faifant -A — o dans l’équation différentielle
de la courbe. Enfuite on a u—x - a , 8c
y — z~~b: ce qui donnera une nouvelle équation en
u ôc en t , de laquelle on peut aufli faire évanouir
a 6c b , fi on le juge à propos. En un mot on combinera
ces équations entr’elles, de la maniéré qu’on
jugera la plus facile 8c la plus expéditive pour parvenir
à la folution du problème ; 6c Varticle Évanouir
, ainfi que toutes les remarques précédentes,
fourniffent pour cela différens moyens. ( O )
MAXON , ( Hijl. nat.) Voyez Muge.
M A Y , ( Géog. ) île d’Écofîe, à l’embouchure du
Forth. Elle a un bon havre; on y trouve quantité de
poiflon, de gibier, 6c de gras pâturages. Ses rochers
à i’eft le rendent inacceffible. Long. i5. z z . lut. 56.
5J . , ( Z ) . ƒ .)
MAYAGUANA, ( Géog.) petite île de l’Amérique
feptentrionale, 6c l’une des Lucayes, à douze
lieues vers le nord-eft des Caïcos. On lui donne 20
milles de cours, entre le fud-eft 8c le nord-oueft.
Long. 3 o5. lat. feptent. z z . z 5. (Z>. J. )
MAYENCE, l’électorat de, (Géog.) il renferme
une étendue plus confidérable que l’archevêché.
La plus grande partie de cet éleûorat eft entre
le Palatinat 6c Treves autour du Rhin, où font
Mayence, Bingen, ôc Hochft. Il comprend IeRhin-
gaw, 6c la BergftrafTe. Il a dans le Palatinat Gers-
heim, 6c Sobreheim. Il a en Franconie le long du
Mein une lifiere, en Thuringe Erfurt, capitale,
l ’Eisfeld ; enfin dans le HefTe, Fritzlar 6c Amone-
bourg. ( D . J. )
Mayence , l 'Archevêché de, ( Géog.) pays d’Allemagne
fur le Rhin, appartenant à l’archevêché de
Mayence. Le pays qui comprend ce diocèfe eft fort
bon. On lé divife en deux parties ; celle qui eft le
long du Rhin s’appelle le Rhingaw, eft fort peuplée
6c fertile en bons vins ; celle qui eft du côté de la
Franconie s’étend le long du Mein, ôc comprend les
bailliages de Hochft, de Steinheim, ÔC d’Aichaffem-
bourg, le comté de Komgftein, 8c une partie de celui
deReineek: la maniéré dont fe fait l’éleéHon de l’<zr-
chtvêque de Mayence, fes titres, fes prérogatives, ne
font pas des chofes qui nous intéreffent ici. (D . /.)
Ma y e n c e , ( Géog. ) ancienne & confidérable
ville d’Allemagne, dans le cercle du bas Rhin, capitale
de l’archevêché 6c de l’éle&orat de ce nom,
avec une univerfité fondée en 1477,6cun archevêché
érigé en 747.
Serrarius qui a beaucoup écrit fur cette v ille ,
proit qu’elle a été fondée, ou du-moins çopfidérable-
Tome X\
M A Y a i ?
ment aggrandie, dix ans avant la naiflance de J. C.
par Clauditis-Drufus-Germanicus , beau-fils de
l’empereur Augufte, 8c frere deTibere. Il eft certain
que les Romains en firent une de leurs places d’armes
, 6c que Drufus y féjourna long-tems.
Dans les écrits latins Mayence eft nommée Md-
gotia, Moguntia, Moguntiacum ; elle eft appelles
Menez par les Allemands.
Quoique cette ville ne foit pas la plus féconde
d’Allemagne en hommes de lettres, il y a néanmoins
beaucoup d’apparence que l’invention de l’Imprimerie
y a pris naiflance. Serrarius dit qu’on y conferve
encore le premier effai de Guttemberg.
Mayence a joui affez long-tems de plufieurs grands
privilèges qui la rendoient floriflante; mais en 1462,
Adolphe, comte de Naffau, s’en empara ôc lui ôta
fa liberté, de forte que de ville impériale elle devint
ville de province. Dans la fuite des tems les Suédois,
les Impériaux ôc les François s ’en font rendu maîtres
plufieurs fois. Elle eft à préfent retournée fous la
domination de fes archevêques, qui ont été déclarés
par la bulle d’or, les premiers entre les életteurs ;
foible confolation pour fes habitans 1
Cette ville eft à la vérité fortifiée, mais elle n’eft
pas en état de faire une longue défenfe, à caufe des
hauteurs qui la commandent. Elle eft fituée fur la
rive gauche du Rhin, vers l’endroit où ce fleuve reçoit
le Mein, 6c où eft un fort bâti parGuftave Adolphe
, dont il porte le nom, 6c un pont de bateaux.
Sa diftance eft à 7 lieues N. O. de Worms, 6 S. E.
de Francfort, 27 N. E. de Tre ves, 3 2 N. Eft de Strasbourg,
30 S. E. de Cologne. Longi félon Caflini,
z 5. 5d . j 0". lat. 4<). 54. ( D . ƒ. )
M A Y E N N E , (Botan. ) plante exotique, autrement
ôc mieux nommée mélongene. Voyez Mélon-
GENE ( Botan. ) La mélongene, melongena, eft placée
par les Botaniftes dans le genre des plantes à
fleur monopétale, en forme de rofette, profondément
découpée. Le piftil qui fort du calice eft attaché
au milieu de la fleur comme d’un clou, ôc devient
dans la fuite un fruit charnu 8c rempli de fe-
mences, fembïables pour l’ordinaire à un rein, Tour-
nefort, Infi. rei herb. Voyez Plante.
Mayenne, ( Géog. ) Meduana juchelli, ville de
France dans le Maine, avec titre de duché-pairie,
érigé en 1573 en faveur de Charles de Lorraine.
Elle eft fur le Maine, à 15 lieues N. O. du Mans,
17 N. E. de Rennes, 22 N. d’Angers, 52 S. O. de
Paris. Long. i j . lat. 48 .18. (D . J .)
MAYEQUES, f. m. pl. (Hijl. mod.) c’eft ainfi que
l’on nommoit chez les Mexicains un ordre d’hommes
tributaires, à qui il n’étoit point permis de pofleder
de terres en propre, ils ne pou voient que les tenir
en rentes ; il ne leur étoit point permis de quitter
une terre pour en prendre une autre, ni de jamais
abandonner celle qu’ils labouroient. Les feigneurs
avoient fur eux la jurifdiéfion civile ôc criminelle ;
ils ne fervoient à la guerre que dans les néceffités
preflantes, parce que les Mexicains favoient que la
guerre ne doit point faire perdre de YÛe l’agriculture.
M A Y E U R , ( Jurifprd. ) lignifie dans quelques
provinces ce qu’on appelle ailleurs maire. Voyez
Maire.
MAYO ou M AY, ( Géog. ) comté d’Irlande, dans
la province de Connaught. Il eft borné à l’eft par le
comté de Rofcommon, à l’oueft ôc au nord par
l’Océan occidental, ôc au fud par le comté de Gal-
lway. Ce comté a 58 milles de long ôc 44 de large.
Il abonde en beftiaux, en bêtes fauves, ôc en miel.
May, fitué fur la riviere de M ay, en eft le chef-lieu,
à 25 lieues de Dublin. Long. y . 55. lat. 5j . 40.
7*) I I Mayo, île y ou l’ill de May , ( Geogr. ) l’une
E e