raifort compojee des ttms T & t & des vitejfes F <5* u ,
car F . u i t S t . f T ,
•donc y fT z z u S t ,
6c s . f î : f t . u t,
en nombres 1 2 . 8 : : 2 x 6 . 1 x 4 »
par conféquent l\ S = .f , on a F T = u t ’, de façon
que y . u :: t . T , c’eft-à-dire fi deux corps quife meuvent
uniformément, décrivent des efpaces égaux, leurs
vitejfes feront en raifon réciproque des tems. En nombres
, fi nous fuppofons S=z 12, & ƒ = 1 2 , comme
S — y T , & t f= u t , fi F s z z , 6c u=z 3 , on aura
T = 6 , 6c t = 4 , de façon qu’il viendra auffi y .
u = z .T ; d e plus fi t = T , z . 3 : : 4 . 6 , on aura alors
y — u, 6c par conféquent les corps quife meuvent uniformément,
& décrivent des efpaces égaux dans des tems
égaux , ont des vitejfes égales.
f i , Les moment ou quantités de matière E & e de
deux corps qui fe meuvent uniformément, font en raifon
compofée des vitefles y 6c u , 6c des mafles ou quantités
de matières M 6c m , car fi E = zF M , e = um,
on aura donc E . e : : FM .um-, c’eft-à-dire que la
raifon de E à e eft compofée de celle de V à u, 6c de
M km.
Si E = e , on aura donc y M xzum,6c par conféquent
y .u : : m. Al, c’cft-à-dire queJî les moment de
deux corps qui fe meuvent uniformément font égaux ,
leurs vitejfes feront en raifon réciproque de leurs majjes ,
& par conféquent fi M eft outre cela égale km , y
fera égal à u ; c’eft-à-dirë que f les moment & les maffes
de deux corps font égaux , leurs vitejfes le feront aujji.
40. Les vitejfes V & u de deux corps qui Je meuvent
uniformément ,font en raifon compofée de la directe des
moment E & e , & de la réciproque des maffes M & m,
car puifque E , e : : y A l . um,
donc E um 2= e y M ,
6c y .u z z E m . eM ,
en nombres 4 : z : : 28. X 5 : 10 X 7 • : 4 X * •'1 X 1
: : 4 . 2 , donc fi y = u , on aura £ m = e A l , & par
conféquent E . e : : A l . m ; c’eft-à-dire cjue f i deux
corps Je meuvent uniformément Cf avec la meme vitejfe ,
leurs moment feront dans la même raifon que leurs majfes.
Si de plus M = m , alors E — e, & par conféquent
deux corps dont les majfes font égales , & qui fe meuvent
uniformément avec des vitejfes égales, ont nécejfairement
des momens égaux.
f i . Dans un mouvement uniforme les majfes AI & m
des corps font en raijon compofée de la directe des momens
E & e , & de la réciproque des vitejfes y Cf u ,
car puifque E . e : : VAl . um,
donc E u m — e Al y ,
Al m = E u . c F ,
en nombres 7 : 5 : : 28 X 2 : 10 x 4 : : 7 X 1 : 5X1
: : 7 : 5. Si M = m, on aura alors E u = zeF ,6 c par
conféquent E . e : : V u , c’eft-à-dire que f i deux
corps quife meuvent uniformément ont-des majfes égalés,
leurs momensferont entreux comme leurs vitejjes, fup-
pofons en nombres E — 12 , e = 8 , M — 4 , /h = 4 ,
on aura = 3 , = z ,
donc E . e\ ' .y . u y
1 2 .8 : 3 . 2.
6°. Dans un mouvement uniforme les moment E Cf e,
font en raifon compofée dés directes des majfes Al & m ,
& des efpaces S Cf f , Cf delà réciproque des tems T & t ,
car à caufe que y .u : : S t . J T ,
6c E . e : : y Al : um,
: donc y E . ue : : y MS t ,.,u m J T r .
donc E . e : : MS t . m f T ,
par conféquent fi E — e , on aura M S t = m J T , &
. r M fT . S mT « T MS . a x H H r
ainfi — == J — Héf, c eft " a " dire J1
deux corps qui fe meuvent uniformément, ont outre cela
des momensJgaux, i°. leu fs majfes front en raifon compofée
de la directe des tems & de la- réciproque des ejpaces
; 20. les efpaces feront en raifon compofée de la direcle
des tems & de la réciproque des maffes i 3 . let
tems J'eront en. raifon compofée des majfes Cf des efpaces.
Que f i de plus M — m , on aura alors f T — S t , &:
par conféquent S . f : : T . t , c’eft-à-dire que f i deux
corps qui fe meuvent uniformément ont des momens égaux
& des majfes égales, les efpaces qu'ils parcourront feront
proportionnels aux tems.
Si de plus T = t , o n aura auffi S —f i & ainfi deux
corps qui fe meuvent avec des majfes & des momens
égaux , décrivent des efpaces égaux en tems égaux.
Si E s z e , on aura M t— m T , & par conféquent
M . m : : T . t , c’eft à-dire que deux corps
qui fe meuvent uniformément avec des momens égaux ,
Cf qui décrivent des efpaces égaux , doivent avoir des
majfes proportionnelles aux tems qu'ils emploient à décrire
ces ejpaces.
Si outre cela T>= t, on aura auffi M-=. m , & par
conféquent des corps dont les momens J'ont égaux, Cf
qui fe mouvant uniformément, décrivent des efpaces
égaux dans des tems égaux, doivent au ffi avoir des majjes
égales.
Si E = e , S c T = t , on aura alors M S = mf, &
par conféquent S : f : : m . M; c’eft-à-dire que les
efpaces parcourus dans un même tems, & d'un mouvement
uniforme par deux corps dont les momens font
égaux , font en raifon réciproque des majjes.
70. Dans un mouvement uniforme les efpaces S
ôc f font en raifon compofée des dire&es des momens
E & e , 81 des tems T & t , & de la réciproque
des mafles m & M ,
car puifque E . e : : M S t . m fT ,
E m J T = e M S e ,
par conféquent S . f : : E T m . e tM ,
en nombres 12 : 16 : : 3X 2 8X J .* 8 x 1 0 X 7 : î
3 X 4 X 1 . 8 x 2 x 1 : : 12.: 16 , a’oii il s’enfuit que
fi S = f , E T m fera égal a et M , 6c que par confé-
W Ê Ê Ê m : : t M ,T m ,M . m : : E T . e t .T . t : :
eM . Em.
Ainfi en fuppofant que deux corps parcourent des
efpaces égaux d’un mouvement uniforme , i°. leurs
momens feront en raifon compofée de la directe des majfes
& de la réciproque des tems : 20. leurs majfes feront en
raifon compofée des momens & des tems: 'fi. les tems feront
en raijon compofée de la directe des majfes Cf de la.
réciproque des momens.
Si outre S —f , on fuppofe encore M=am, on
aura auffi E T z= .e t, & par conféquent E. e : : t.
T. c’eft-à-dire que des corps dont les majfes font égales ,
& qui parcourent des efpaces égaux, ont des momens réciproquement
proportionnels aux tems qu'ils emploient â
parcourir ces efpaces.
Si outre S =zf, on fuppofe encore T = t , il s’enfui
vra que eM— Em , & par conféquent deux corps
qui fe meuvent Uniformément , en parcourant les mêmes
efpaces dans les mêmes tems, ont des momens proportionnels
a leurs majfes.
8°. Deux corps qui fe meuvent uniformément ont
des mafles M & m en raifon compofée des directes
des momens E &c e , &c des tems X & r, & de la réciproque
des efpaces ƒ & S , ■
car puifque E . e : : MS t . m fT , E m fT = eM S e,
donc M . m : : E T f . e t S ,
en nombres 7 : 5 : : 3 x 28 x 16 : 8 X 10 X ia : :
3 X 7 X 2 : 1 x 1 0 x 3 : : 7 : f y
de plus E . e : : M S t . m j'T ,
en nombres 28 : 10 : : 7 x 1 2 x 8 : 5 X ^ X 3 : :
7 X 4 X 1 : 5 x 2 x 1 : : 28 : 10,
& par conféquent fi M=.rn, on aura E T f=ze tS
& par conféquent E . e : : tS . T f , S . f : : E T . et,
& T . t : : e S . E f , c’eft-à-dire quef i deux mobiles
ont des majfis égales , i°. les momens feront en raifon
compofée de ta directe des efpaces & de la réciproque des
tents : z°. Us efpaces feront en raifon compofée des momens
Cf des tems : f i % les tems feront en raifon compo-.
Jet de la directe des efpaces & de la réciproque des nio- ^
mens.
Si outre M=zm, on fuppofe encore X==r, on aura’
donceS1 =%£’ƒ ,& par conféquent«. E 1 : f . S , c’eft-
à-dire que dans le mouvement uniforme , les momens
de deux corps dont les majfes font égalts ,font proportionnels
aux efpaces parcourus dans des tems égaux.
90. Dans des mouvemens uniformes , les tems T
& t font,en raifon compofée des direéles des mafles
M fom , & des efpaces S & f , & de la réciproque
des momens E & e ,
car puifque E .e : : M S t . m fT ,E m fT = eM S t ,
donc T . t ; : eM S . E m f ,
d’oïl il s’enfuit que fi Tsz t , on aura eM S c xEm f,
& par conféquent E . e : : M S . tnf, M. m : ; E f .
eS &c S . ƒ : : Em . eM, c’eft-à-dire qu t f i deux corps
fe meuvent uniformément dans des tems égaux , i°. leurs
momens feront en raifon compofée des majfes & des efpaces
: 20. les majfes feront en raifon compofée de la directe
des momens & de la réciproque des ejpaces : fi. les
efpaces J'eront en raifon compofée de la directe des momens
ô de La réciproque des majfes.
Mouvement accéléré ; c’eft celui qui reçoit continuellement
de nouveaux accroiflemens de vitefle ;
il eft dit uniformément accéléré quand ces accroif-
femens de vitefles font égaux en tems égaux. Voyer
A cc é lé r at io n .
Mouvement retardé i c’eft celui dont la vrtefle diminue
continuellement ; il eft dit uniformément retardé
, lorfque la vitefle décroît proportionnellement
aux tems. yoye^ Ret arda t ion.
En général on peut repréfenter les lois du mouvement
uniforme, ou v arié, fuivant une loi quelconque
, par réquation d’une courbe, dont les abfciffes
expriment les tems t , & les ordonnées correfpon-
dantes les efpaces parcourus pendant ces tems. Si
tz x n t , « étant un nombre confiant, les efpaces feront
comme les tems , & le mouvement fera uniforme.
S’i^ y a entre * & t quelqu’autre équarion , le ;
mouvement fera varié ; fl on n’a point d’équation finie
entre « & t , on pourra exprimer le rapport de e à S
t par une équation différentielle, d e = .R d t , R
étant une fonction de e 6c de t , laquelle repréfente 1
la vitefle ; & il eft à remarquer que .puifque jy =
R , le mouvement fera accéléré fi la différence de R
eft pofkive , & retardé fi elle eft négative ( voyez j
V itesse & Force ) ; car dans le premier cas, la
vitefle R ira en croiffant, & dans le fécond, en dé- j
cr olifant.
C ’eft un axiome de méchanique, comme on l ’a
déjà remarqué, qu'un corps qui ef une fois en repos ne
fe mouvera jamais, à moins qu 'il ne fort mis en mouvement
par quelqu'autre corps , & que tout corps qui ef
une fois en mouvement, continuera toujours à fe mouvoir
avec la même vitejfe & dans La même direction , à
moins que quelqu 'autre corps ne Le force à changer d'état.
On doit conclure de là , qu’un corps mû par une
feule impulfion doit 'continuer à fe mouvoir en ligne
droite, & que s’il eft emporté dans une courbe , il '
doit être pouffé au moins par deux forces-, clont l’une
, fi elle étoit feule, le feroit continuer en ligne
droite , & dont l’autre , ou les autres, l ’en détournent
continuellement.
Si l’aâion o£.ia réa&ion de deux cor.ps ( non élaf- ;
tiques) eft égale ,, il ne s’enfuivra aucun mouvement ;
de leur choc ; mais les corps relieront après le choc
on repos l’un contre l ’autre.
Si un mobile eft pouffé dans la direélion de fon
mouvement, il fera accéléré ; s’il eft pouffe par une
force qui réfifte à Ion mouvement , il fera alors retardé
; les graves defeendent par un mouvement ae-
-céléré.
10°. Si un corps fe meut avec une vitejfe uniformément
accélérée, les efpaces qu'il parcourra feront en fai*
fon doublée des tems qu'il aura employés à les franchir j
car que la vitefle acquife dans les tem s t fo it= u ,
celle que le grave acquerra dans le rems 2 1 , fera 2 u ,
dans le tems 3 /, fera 3 u , &c. & les efpaces corref-
pondans à ces tems t , 2 /, 3 /, feront proportionnels
k t u , Aftu, y tu , par conféquent ces efpaces feront
comme 1 , 4 , 9 , &c. Les tems étant de leur côté
comme 1 , 2, 3 , &c. il eft donc vrai que les efpaces
feront en raifon doublée des tems. Foye^ A C C É L É R A TION.
D ’oîi il s’enfuit que dans le mouvement uniformément
accéléré, les tems font en raifon foudoublée
des efpaces.
1 1°. Les efpaces parcourus par un corps qui fe meut
d'un mouvement uniformément accéléré, croijfent dans des
tems égaux comme les nombres impairs I , 3 , 5 ,7 , &c.
Car fl les tems qu’un mobile uniformément accé*
1ère emploie dans fon mouvement, font comme 1 ,
1 > 3 > 4 > 5 > &c‘ ©n a vu que les efpaces qu’il parcourra
feront dans le premier tems 1 comme 1 , dans
2 comme 4 , dans 3 comme 0 , dans 4 comme 16,
dans 5 comme 25 ( 10e lo i ) , 6c ainfi fouftrayant
l’efpace parcouru dans le premier tems, favoir 1 #
de l’efpace parcouru en 2 , favoir 4 , il reliera
l’efpace parcouru dans le fécond moment feulement
, favoir 3. On trouvera femblablement que
l’efpace parcouru dans le troifieme tems feulement,
fiera 9 — 4 = 5, que l’cfpace parcouru dans le qua-»
trierne, fera 16^-9= 7 , 6c ainfi des autres. L’efpace
correfpondant au premier tems , fiera donc x ,
celui du fécond 3 , celui du troifieme 5 , celui du qua*
trierne 7 , celui du cinquième 9, &c. 6c ainfi les efpaces
parcourus par un mobile quife meut d’un mou*
veinent uniformément accéléré , croiflént dans des
tems égaux comme les nombres impairs 1 3 , 5 ,
7 , &c. C. Q. F. D.
120. Les ejpaces parcourus pàr un corps qui fe rrieut
d'un mouvement uniformément accéléré, & en commençant
par partir du repos , font en raijon doublée dei H1 I ■ Car nommons les vitefles F6c u , les tems T & t ,
les efpaces S 6c f ; puilqiie le corps part du repos ,
la quantité de vitefle à chaque inftant ne dépend
que du nombre d’accélération que le corps a reçu ÿ
6c comme il en reçoit par hypothele, d’égales en
tems égaux , 6c par conféquent un nombre proportionnel
au tems, il s’enfuit de là que les vitefles à
chaque inftant doivent être proportionnelles aux
tems ; ainfi F e ftk u comme Teû. k t : donc puilqu’en
vertude la 10e loi S . f i t T2-. t2 ; on aura S .f\ \ F 2 t
nK C. Q. F. D.
Donc dans les mouvemens uniformément accélérésy
les vitejf es font en raijon Joudoublée des efpaces,
1 30;. Dans les milieux non-réfifians, & dans des efpaces
peu grands , les graves defeendent d'un mouvement
uniformément accéléré, ou qui doit être cenfé tel ; car les
.graves ne defeendent avec une vitefle accélérée,
qu’autant que quelque force étrangère agit conti*
nu ellenient fur eux pour augmenter leur vitefle , &
on n’en fauroit imaginer d’autre ici que celle de la
gravité ; mais la force de la gravité doit être cenfée
par-tout la même près delà furface de la terre, parce
•qu’on y eft toujours à des intervalles du centre fort
.grands , & peu différens les uns des autres ; 6c les ex*
périences.qu’on a pu faire à quelque diftance que
ç’ait été de la terre , n’y ont fait trouver en effet au*
cune différence fenfible ; les corps graves doivent
par conféquent être follicités en embas d’trne ma*
niiere lemblable en tems égaux : donc fi dans le pre-»
inier moment de tems, cette force leur donne la vi*
teffe F , elle leur donnera encore la même vitefle
dans le-moment fuivant, ainfi du troifieme, dn qua*
trierne -, &c. De plus , comme nous fuppofons le mi