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rité cherchée., b s Eb ap-grocb?1? cependant; toujours I
de plus en.plüs, Les, no^nbrjes. qiie l’o# vient de trou- ;
v,èr ffihff,' & 'ceux qu^l’jojq .peut trouyjer de {a môme ;
manière à .l’infini étant; difpofés darjs, leur ordre na- '•
que 4©$ appelle une fai*. ,.ou unt fuite :
infinie. : ainfi la ffifM\ .1.,-k î fr s "h 57 continuée, à •
lhilhni ,èxp£ jrne j^valeuij, de la tacine>quarrée de 2 ;
quelquefois lesfuites pe,procèdent pas par. des additions
_,&} des fouffrattions alternatives ,, mais par de .
fiinples, additions ou par une infinité de fouftrattions;.
dans tôutes les fuites infinies dont tous les termes pris
enfemble ne doivent.être égaux qu’à, une grandeur,
finie ., il eft viiible que leurs, termes .doivent aller
toujours en décroifîant ; il eft bon .môme’,, autant
qu’il eft.poffible,,. qu’elles {oient telles,que l’on en
piaffe prendre feulement un certain nombre des premiers
tenues, pour-la, grandeur cherchée , Se négliger
tout le reft,ç., ,
Mais ce ne font‘pas feulement les nombres irration-
nels.que l’on peut.exprimer en termes rationnels,par
désfuites, infinies ;le$ nombres rationnels eux-mêmes,
font ftifceptibles d’une; femblable expreffion ; i , par
exemple ,(eft égal ,à la fuite 7 , &c J mais il y
a.cette différence , qu’aiÇlieu que les nombres irrationnels
ne peuvent être exprimés en nombre rationnels
que par ces fuites, les nombres rationnels n!ont
pas befoin de cette expreffion.
Parmi les fuites infinies , il y en a quelques-unes
dont , les termes ne . 'font qu’une fomme finie ; telle
eu la progreffion. géométrique - , ÿ , j , Oc. & en
général toutes les pr ogreffio ns-géométriques décroil-
fantes : dans, d’autres fuites, les termes font une fomme
infinie ; telle eft la progreffion harmonique 7 , f
1 , j , Oc. Voyt{ Ha rmonique. Ce n’eft pas qu’il
y ait plus de termes dans la.progreffion harmonique,
que dans la géométrique, quoique cette derniere
n'ait point de terme qui ne foit dans la première , &
qu’il lui en manque plufieurs que cettp première contient;
une pareille différence rendroit feulement les
deux fommes.infinies , inégales; & celle de la pro-
greflibn harmonique ,.ferpit la plus grande: la raifon
en eft plus profonde ; de la diviiibilité de l’étendue à
l’infini, il fuit que tonte quantité finie , par exemple
un p ié , eft compofée pour ainfi dire , de fini &
d’infini : de fini, entant que c’eft un pié ; d’infini, entant
qu’il contient une infinité de parties , dans lef-
q.uelles il peut être, divifé : fi ces parties infinies font
conçues, comme féparées l’une de l’autre, elles formeront
unefuite infinie , & néanmoins leur fomme
ne fera qu’un pié : or c’eft ce qui arrive dans la fuite
géométrique IL d , 6’c.décroiffante : car il eft évident
que fi vous prenez d’abord - pié , enfuite 7 ou
la moitié de-ce qui refte, c’eft-à-dire ÿ de pié ; & puis
4 , ou la moitié du refte, c’eft-à-dire, j de pié, vous
pouvez opérer fans fin, .en prenant toujours de nouvelles,
moitiés décroifiantes, qui, toutes enfemble
ne font qu’un pié. Quand on dit même que toutes
ces parties prifes enfemble font un p ié, il. ne faut pas
prendre cette expreffion à la rigueur ,• car, elles ne fe-
roient un pié que dans la fuppofition que,, l’on eut
pris tous les termes de la fuite , cela ne fe p eut,
puifque la fuite eft infinie; maison peut prendre tant
de termes de la fuite qu’on v eu t , plus on en prendra,
plus on approchera de la valeur d’un pié , &
quoiqu’on n’ait jamais le pié exactement, on pourra
en approcher auffi près qu’on voudra : ainfi cette
fuite riz. pas proprement un pié pour la fomme, car
une fuite infinie n’a point de fomme proprement dite,
puifque fafomme varie félon qu’on en prend plus ou
moins de termes , & qu’on ne peut jamais les prendre
tous ; mais ce qu’on appelle la fomme d'une fuite, c’eft
la limite de la fomme defes différens termes, c’eft-
à-dire une quantité dont on approche auffi près qu’on
veut,, en prenant toujours dans la fuite un nombre
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de termes de plus enplus grand. Nous croyons devoir^
faire cette remarque en paffant, pour fixer l’idée.
nette du mot de fomme d'une fuite. Revenons à
préfe-nt à notre fuite | , ÿ , |>
Dans cet exemple nous ne prenons pas feulement
les parties qui.étoient dans le tout :, diftinguées l’un'e
,de l’autre , mais nous: prenons tout ce qui ;y étoit;;
c’eft pourquoi il arrive que leur fomme redonne pré-
ciféinent le tout ou la quantité entière ; mais fi nous
prenons la progreffion géométrique ÿ , P| &ô.
c’eft-à-dire, que nous prenions d’abord j de pié , &c
que du refte l’on enr prenne j , ôc que de ce dernier
refte,l’on prenne encore -fj de p ié , Oc. il eft vrai
que nous ne prendrions que les parties qui font dif-
tinttes l’une de l’autre dans le pié ; mais nous ne prendrions
pas toutes les parties qui y font contenues \
puifque nous n’y prenons que tous les tiers, qui font
plus petits que le.s moitiés ; par .conféquent, tous ces
tiers qui décroiffent, quoiqu’en nombre infini, né
pourroient faire le tout ; 6c il eft même démontré
qu’ils nefqroient que , la moitié d’un pié ;' pareille- •
ment tous les quarts , qui décroiffent à l’infini, ne
donneraient qu’un tiers pour fomme totale , & tous
les centièmes ne feraient qu’iin quatre-vingt dix-neu-
vieme ; ainfi , non-feulement la- fomme dès termes
d’une fuite géométrique, dont les termes'décroiflent
à l'infini, n’eft pas toujours une quantité finie ; elle'
peut même être plus petite qu’une quantité finie
quelconque : car nous venons de voir comment on
peut former une fuite de quantités qui ne foient égales
qu’à 7 , y , y , & on peut de même en former
qui ne foient égales qu’à j , ÿ , Oc. f i t 777', 7777,
ainfi à l’infini.
Si une fuite infinie décroiffante exprime des parties
qui ne puiffent pas fubfifter dans un tout fépa-
rément les unes des autres, mais qui foient telles
que pour exprimer leur valeur, il foit néceffaire de
fuppofer la même quantité prife- plufieurs fois dans
le même tout; alors la fomme de ces parties fera plus
grande que le tout fuppofé, & même pourra être infiniment
plus grande, c’eft-à-dire, que la fomme fera
infinie , fi la même quantité eft prife une infinité
de fois. Ainfi dans la progreffion harmonique -y;-J
&c. fi nous prenons | pie ou 6 pouces , enfuite | de
pie ou 4 pouces, il eft évident que nous ne pouvons'
plus prendre ÿ de pié ou trois pouces, fans prendre
i pouce au-deffus de ce qui refte dans le pié. Puis
donc, que le tout eft déjà épuifé par la fomme dès.
trois premiers termes, l’on ne fauroit plus ajouter k
ces trois termes les termes fuivans, fans prendre
quelque chofe qui a déjà été pris ; & puifque ces:
termes font infinis en nombre, il eft très-poffible que
la même quantité finie puiffe être répétée un nombre
infini de fois \ ce qui rendra infinie la fomme de
la fuite.
Nous difon i.poffible; car, quoique de deux fuites
infinies, l’une puiffe faire une îomme finie, & l’autre'
une fomme infinie, il peut fe trouver une fuite oit lès
termes finis ayant épuifé le tout, les termes fuivans,'
quoiqu’infinis en nombre, ne feront qu’une fomme
finie.
De plus il eft néceffaire de faire deux remarques
fur les fériés en général. i°. Il y a quelques fuites
dans lesquelles, après un certain nombre de termes,’
tous les autres termes , quoiqu’infinis' en nombre,
deviennent chacun égaux à zéro. Il eft évident que
la fomme de c es fuites eft une fomme finie , & qu’on
peut aifément la trouver. S o it, par exemple, la fuite'
a + m a 1 -j- m. m — i a 3 -f- ni. ni— i . m — z a 4 -p ■
| n}..m; — i. m — 2. m — 3 .a 5, &c. il eft évident que ir
on fa it , par exemple ,m = 3 , cette fuite fe termine-*
: ra au 4e. terme. Car tous les autres devant être mul-'
: tipliés par m — 3 qui eft =0 à caufe de m = 3, ces
’ termes feront néceÇairement chacun égaux à zéro , ’
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ces fuites n’ayant qu’une apparence d’infinité.
20. Que fa même grandeur peut être exprimée
par différentes fuites, qu’elle peut l’être par une fuite
dont la foinme eft déterminable, & par Une autre,
dont on ne fauroit trouver la fomme.
La géométrie n’eft pas fujette, dans l’expreffion
des grandeurs, à autant de difficultés que l’arithmétique
: on y exprime exaôement en lignes les nombres
irrationnels,& l’on n’a point befoin d’y recourir
aux fuites infinies. Ainfi l’on fait que la diagonale
d’un quarré , dont le côté eft 1 , exprime la racine
quarree de 2. Mais en quelques autres cas, la géométrie
elle-même n’eft pas exempte de ces inconvé-
niens, parce qu’il y a quelques lignes droites que l’on
ne peut exprimer autrement que par une fuite infinie
de lignes plus petites , dont la fomme ne peut être
déterminée: de cette efpece font les lignes droites
égales à des courbes non re&ifiables ; en cherchant,
par exemple, une ligne droite égale à la circonférence
d’un cercle, on trouve que le diamètre étant fuppofé
1 , la ligne cherchée fera f — | + y — y-p y , &c.
Foye^ Recti fica t ion .
Quant à l’invention d’une fuite infinie, qui exprime
dés quantités cherchées , Mercator , le premier
inventeur de cette méthode, fe fert pour cet effet dé
la divifion. Mais M; Newton & M. Léibnitz ont porté
cette théorie plus loin ; le premier, eh trouvant fès
fuites par l’extradion des racines ; & le fécond, par
une autre fuite préfuppofée.
Pour trouver, par le moyen de la divifion, un e fuite
qui foit l’expreffion d’une quantité cherchée. Suppo-
fons qii’on demande une fuite qui exprime le quotient
de b divifé par a -j- c , divifez le dividende par le divi-
feur, comme dans l’algebre ordinaire, en continuant
la divifion, jufqu’à ce que le quotient faffe voir l’Ordre
de la progreffion , ou la foi fuivant laquelle les
termes vont à l ’infini ; obfervant toujours les réglés
de la fouftrattion, de la multiplication, de la divifion
, par rapport au changement des fignes. Quand
vous aurez pouffé cette opération jufqu’à un certain
point, vous trouverez que le quotient eft - -—
+ -jy , &c. à l’infini; Ces quatre ou cinq termes
étant ainfi trouvés, vous reconnoîtrez facilement
que le quotient confifte en une fuite infinie dé
fra&ions. Les numérateurs de ces fractions font les
puiffances de c , dont les expofans font moindres
d’une unité que le nombre qui marque la place que
ces termes occupent, & les dénominateurs font lés
puiffances de a , dont leff expofans font égaux au nombre
qui marque la place de ces termes : par exemple,
dans le troifieme terme * la puiffance de c eft du fécond
degté dàns le numérateur ; & la puiffance de a.
eft du troifieme degré dans le dénominateur.
Par conféquent i°. fi b = 1 & a — 1 ; eh fübftituant
ces valeurs, nous aurons lè quotient ci-deffus == i
— c + c1 ~ o , &c. à l’infini : c’eft pourquoi — 1
— c + c2 — cî, &c. à l’bmni;
20. Donc fi les termes qui font au quotient décroiffent
continuellement, la fuite donnera un quotient
auffi près dii vrai qu’il eft poffible. Par exemple,
fi ^ = 1 , c — i , a = 2 , ces valeurs étant fubftituées
dans ht fuite générale, & la divifion étant faite com-
the dans l’exempic générai ci-deflus, on trouvera
i — H t = 7 — f-j- 7 — 7? + TT~ 74 + 778? ^ - $UP~
pofons maintenant que la férié ou la fuite s’arrête au
uatrieme terme , ïa fomme de cette fuite fera aü-
effous de la véritable ; mais il ne s’en faudra pas yf.
Si elle s’arrête au fixieme terme, elle fera encore
en-deffous, mais moins que de riy : c’ eft pourquoi
plus on pouffera la férié ou la fuite, plus auffi on approchera
de la véritable fomme, fans pourtant jamais
y arriver.
.. .... .. § Ë R
De la meme maniéré, oh trouve que y — •
— y ~ ? + i l — sv + rÿj , &c. à l’infini...', ÿ =r -L-
= ï ” TS + — r f? > &c. h l’iiifini..'.. | = t= i
f # S ^ ^ c> ^ l’infini. Ce qui donne une
loi confiante, fuivant laquelle toutes les frittions;
dont le numérateur eft l’unité , peuvent être exprimées
par des fuites infinies ; ces fuites étant toutes des
progreffions géométriques, qui décroiffent en telle
maniéré que le numérateur eft toujours l’unité, &
que le dénominateur du premier terme, qui eft auffi
l’expofant du rapport ; eft moindre d’une unité què
le dénominateur de la frattion que l’on a propofé dé
réduire en fuite.
Si lés termes dû quotient crôiffent ccintinuelle-
ment, la férié s’éloigne d’autant plus du quotient;
qu elle eft pôuffee plu$ loin ; & elle ne peut jamais
devenir égale au quotient, à moins qu’on ne limité
ce quotient, & qu’on ne lui ajoute le dernier reftë
avec fon propre ligne. Par exemple , fuppofons
5 == tt'î »' on trouvera que le quotient = i — 2 - f 4
— ? + 16 — 64 + 128, &c. prenons le premier terme
1 , il excede— de 7 ; deux termes, é’ëft-à-direi — 2
feront plus petits de y ; trois termes feront trop «randé
de f ; quatre termes feront trop petits que y 3e M ,
&c. Si l’on fuppofe que la férié ou la fuite fe termine
au terme — 8 ; alors on aura Tÿ-, = j — 2 -J -4— g
i f6 ’ L 1 ,-; i + 4 - 8 = - 5 = ^ -^ : ainfi ^
~ ~ f~ PBffî l
Mais, dira-t-on, qu’exprime doiic alors ünè pareille
fuite } car par la nature de l’opération, elle doit
être égale à la quantité où frattion propôfée ; & cependant
elle s’en éloigne continuellement. Un auteur
nommé Guido Ubaldus, dans fon traité de quadratures
circuit O hyperboles, a pouffé ce raifonnement. plus
loin, & en a tiré urte cb'nféquerice Fort finguliere.
Ayant pris la fuite 7 = & ayant fait la divifion
il a trouvé au quotient 1 - 1 4 1 - 1 4 <5.^
qui â l’infini ne peut jamais .donner que 1 ou o ; fça-
voir 1 , fi on prend un nombre impair de termes ; &
o , fi on prend un nombre pair. D ’oh cet auteur à
conclu que Ja frattion - pouvoit devenir 1 par .fine
certaine opération ? & que o pouvoit être auffi é<*al à
7 , & qüé pat conféquent la création étoit poffibleÿ
puifqù’avec moins on pouvoit faire plus;
L’erreur de cet auteur venoit de n’avoir pas remarqué
que la fuite 1 - i + 1 1 , &c. & en générai
1 — c -E c1 — & &Ci n’exprimoit point exattement là
Valeur de ia frattion— Car fuppofons qu’on ait
pouffé le quotient de la divifion jufqu’à cinq termes ;
comme la divifion ne fè fait jamais ëxàttenieht, il y
a toujours un refte ; foit ce refte r ; & poiir avoir le
quotient exatt, il faut, comme dans la divifion ordi-i
iiaire, ajouter ce refte r divifé par lè divifeur 1 - f c ,
à la partie déjà trouvée dit quotient.
Ainfi fuppofons que la férié générale foit terminée
à — c3; oh aura —^-7- == 1 — c + c1 — £3 -p —1 ’ ;
— -— -—-——7— ——— ——— = T~ÈT‘ ^ar conféquent
la valeur exatte de 7 = eft 1 — 1 + 1 _ t
+ t~ ; & cette valeur fe trouve toüjOurs égalé
à 7 , & non pas zéro à i. Foyè{ dans les Mémoires
de Vacddém. de tyiS. un écrit de M. Varignori, oit
cette difficulté eft éclaircie avec beaucoup dé foin.
Pour s’inftruire à fond de la matière des fuites, ôri
peut confultef le traité de M. Jacques Bernoulli, in-'
titule Trattàtus de feriébus infinitis, edrumqüe fummâ
finitâ, imprimé à Baffe en 1 7 14 , à la fuite de VArs
conjeclandi du même auteur; le feptiémè livre de
VAnalyfe démontrée du P. Rèyneau ; l’ouvrage de M;
NeWtOn , intitulé Analyfis pèr cequatiories numéro ter-
minorum infinitas ; enfin le traité de M. Stirling, dé
fumrnatione faierum; 6c celui de M, Moivre, qui à