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tangente d’un cercle , c’eft-à-dire d’une ligne droite
qui touche un cercle fans le couper, interceptée entre
deux lignes droites tirées du centre C par les extrémités
de l’arc E A . La ligne F E eft la tangente de
l ’angle A C E , comme aum de l ’angle A C I ; de forte
que deux angles adjacens-n’ont qu’une même tangente
commune.
Co-tangente ou tangente du complément -, c’eft la tangente
d’un arc qui ell le complément d ’un autre arc
à un quart de cercle. Voye{ C omplément.
A in fi la tangente de l ’arc A JT fer oit la co- tangente
de l’arc A E , ou la tangente du complément de l ’arc
A E .
Trouver la longueur de la tangente d'un arc quelconque
, le finus de l'arc étant donné. Suppofons l’arc A E ,
le finus donné A D , & la tangente cherchée E F.
Puifque le finus & la tangente font perpendiculaires
au rayon E C , ces lignes font parallèles entre elles :
ainfi le co-finus D C ell au finus A D comme le finus
total ell à la tangente E F . Vàye^ Sinus»
C’eft pourquoi ayant une table des finus, on con-
jftruit facilement une table des tangentes.
Les tangentes artificielles font les logarithmes des
tangentes des arcs. Voyeç L o g a r ithm e .
La ligne des tangentes eft une ligne que l’on met
ordinairement fur le compas de proportion. Voye^-en
la defeription & l ’ufage à l'article C ompas de PROPORTION.
Tangente d’une feftion conique , comme d’une
parabole, c’eft une ligne droite qui ne touche ou qui
ne rencontre la courbe qu’en un point, fans la couper
ou fans entrer dedans. Voye^ C o nique, C ourbe
, &c.
En général, tangente d’une ligne courbe eft une
ligne droite qui étant prolongée de part & d’autre du
point où elle rencontre cette courbe , eft telle que
les deux parties à droite & à gauche de cette ligne ,
tombent hors de la courbe , & qu’on ne puifle mener
par ce même point aucune ligne droite qui foit
entre la courbe & la tangente , & dont les deux parties
foient fituées hors de la courbe.
Méthode des tangentes. C’eft une méthode de déterminer
la grandeur & la pofition de la tangente
d’une courbe quelconque algébrique, en fuppofant
que l’on ait l’équation qui exprime la nature de cette
courbe.
Cette méthode renferme un des plus grands ufages
du calcul différentiel. Voye{ D ifférent iel.
Comme elLe eft d’un très-grand fecours en Géométrie
, elle femble mériter que nous nous y arrêtions
ici particulièrement. Voyeç Soutan gente.
Trouver la foutangente d'une courbe quelconque algébrique.
Soit la demi-ordonnée p m infiniment proche
d’une autre ordonnée PM (PI. anal.jig. 1 3 . ) , P p
fera la différentielle de l’abfciffe ; & abaiflant la perpendiculaire
mR = P p , R m fera la différentielle de
la demi-ordonnée. C’eft pourquoi tirant la tangente
TM , l’arc infiniment petit M m ne différera pas d’une
ligne droite. Ainfi MmR fera un triangle reftangle
re&iligne appellé ordinairement le triangle différentiel
ou caraclériflique de la courbe ; à caufe que les lignes
courbes font diftinguées les unes des autres par le
rapport variable des côtés de ce triangle.
* Or à caufe du parallélifme des lignes droites m R
& T P l’angle M m R = M T P ; ainfi le triangle
M m R eft femblable au triangle T M P . Soit donc
A P zsz.x., P M = y , on aura P p z= m R = d x , &
R Mp4<dy. Par confisquent
R M .m R l l P M . P T
i y . d x i : y
Préfentement fi on fubftitue , dans l’expreflion
générale de la ions-tangente P T, la valeur de d x
prife de l’équation donnée d’une courbe quelcon-
3°. L’équation d’une ellipfe eft
a y 1 — a b x — b x 2
ainfi2 ay dy = a b d x— i b x d x . ^ x
^ ^ dy a b — z b x a b z b x a — z x
Soit a y 1 + b xn + c y x s + e = o , qui eft l’équation
pour un grand nombre de courbes algébriques
, ___________
m aym ~ 1 d y -J- n b x n~ l d x + s cy r x s~l d x +
r c y r~l x* d yx x o
n b x n~l d x - \ - s c y r x s~1 d x x x— m a ym d y —
— r c y r~l x s d y .______
d x z z — m aym~ l dy - TC/ ~ l xS dy
nbxn - 1 + s e yr xs “ 1
p J — t i * _ ~maf l ~ r c y r * s~ 1
d y nbx"-1 +scyr X * ' l
Suppofons , par exemple y 1 — a x — o ; alors , en
comparant avec la formule générale, on a
a ym — y* b xn — — a x
a — i. m zfi'-z b — — a. n — i
c y r x* = o ezzLO
c ~ o. r— o. $== o
En fubftituant ces valeurs dans la formule générale
de la fou s-tangente , on a la ions-tangente de la parabole
du premier genre = 2 y 1 : a.
Suppofanty3 — x^ -j- a x y — 0 , alors on aura
a ym= y i ; b x n — — x 1 ; a — j ; m = 3 ;b=r 1 : nxz 3.
Cy r x s — — a x y j t — o
c = — ; s = 1
En fubftituant ces valeurs dans la formule générale
de la ions-tangente, on a la ions-tangente de la courbe
dont l’équation eft donnée, P Tz=.( — j y ’ + a y x ) :
(— 3 — a y ) = (3 y 3 — a x y ) : (3 x 1 + a y ) ; par
confisquent A T == (3 y* — a x y ) : (3 x2 + a y )— x =.
= (3 y 5- « * 7 — 3 * > - « * ƒ ) : (3
— 2 a x y ) : 3 x 2 + a y ; la valeur d e y 3 — #3 , c elt-
à-dire a x y .-(3 x2-\-ay) étant fubftituée après l’avoir
prife de l’équation de la courbe.
Quand l’expreffion de la ions-tangente eft négativ
e , c’eft une marque que cette ions-tangente tombe
du côté oppofé à l’origine A des x , comme dans la
fig. 13. Au contraire, quand la ions-tangente eft poli-
t iv e , elle tombe du côté de A , comme dans les fig.
t 2 .i4 .n 0. i .& i 4 .n 0.2 .
Quand la ions-tangente eft infinie, alors la tangente
eft parallèle à l’axe des comme dans les fig- ‘ 5.
iG. iy .
MiihoJè mvtrfeda tangentes. C ’eft «ne lnéêôft#,
de. trouver l ’equation ou la conftruôion de quelque
courbe par le moyen de la tangente o ü de quelque
autre ligne, dont la détermination dépend de la tangente
donnée.
Cette méthode eft une des plus grandes branches d u calcul intégral. Vjycç I n t é g r a l .
Nous allons donner fon application dans ce qui
luit. Les expreftions différentielles de la tangente, de
la tous tangente, &c. ayant été expofées dans l’article
precedent ; fi l’on fait la valeur donnée égale à
1 expremon différencielle, & que l’on intégré l’équation
differencielle , ou qu’on la conftruife, fi on ne
peut pas l’intégrer, on aura la courbe que l’on cherche
: par exemple.
^ 1 . T i ouver la ligne courbe, dont la ions-tangente
•-A-y y * a- Puifque la ions tangente d’une ligne algébrique
eft = y d x ; d y , on ay d x :d y z = i y y : a
WÊËËUÈÈÊË
donc Ta Za—x -=-- -z--y--d--y - --.-- -
donc ‘ a x — z ~ ----- *
ainfi la courbe cherchée eft une parabolT dont on a
donne la conftruaion à Parabole.
1°. T rouver la courbe , dont la fou s-tangente eft
une troilieme proportionnelle à r — x Scy.
puifque r — x : y =zy ; 3 d~
nous avons r - x : y = dy : d x
& rd x — x d x = y dy
donc r x - \ x 2-± y '-
«ionc z r x — x x= zy 2
ainfi la courbe cherchée eft un cercle.
a 1^ • Trouver une ligne où la ions-tangente foit égale
a la demi-ordonnée. •
Puifque y d x : d y = y
y d x —y d y
d x = d y
a x ~ y
il paroit donc que la ligne cherchée eft une ligne
droite. 0
4°. Pour trouver une courbe dont la ioiis+tangente
foit confiante, on aura — a , donc — — i l - c’eft
l’équation d’une logarithmique , qui fe conftruira
parla quadrature de l’hyperbole. Voyez Hyperbole
& Lo garithmiqu e.
Ces exemples fuffifent dans un ouvrage tel que
celui-ci, pour donner une idée de la méthode.
La méthode des tangentes eft expliquée avec beaucoup
de clarté, & appliquée à beaucoup d’exemples
dans la fécondé & la neuvième ferions de ranalyfe
des infiniment petits par M. le marquis de l ’Hôpital.
Voyei aufli, fur quelques difficultés de cette méthode
, les Mém.de l'acad. de iyi € & 1723. Ces difficultés
ont lieu, lorfque le numérateur & le dénominateur
de la fraÔion qui expriment la ions-tangente
deviennent l’un & l’autre égaux à zéro. C ’eft: ce qui
arrive dans les points où il y a plufieurs branches
qui s’entrecoupent ; alors il faut différentier d.eux
fois l’équation de la courbe, & la fra^ io n^ fe trouve
avoir autant de valeur qu’il y a de branches. On
peut voir fur cela, outre les mémoires cités, un me-
moire de M. Camus , dans le volume de l’académie
1747, où çette matière eft expofée & difeutée fort :
clairement. (O)
TANGER , (Géog. mod.) par les anciens Romains
1 ln8is » & Par ‘ es Africains Tnnja, ville d ’Afrique au |
royaume de Fer. C’étoit la capitale de la eolûnlè fb- !
maine dans la Mauritanie tangitane, & c’ eft de4â que 1
partirent depuis les Maures qui fournirent l’Efpaene. \
i ant qu elle leur appartint elle hrifta par fa fpîeil.
ur. par fes édifices, & par fes environs j décorés 1
dé jardins h de maiftins dq plaifancê, à càufe des
eaux qui s y trouvent. Elle eft bâtie dans une belle
■ S i ■ ■ [ df ■ du côté du nord, fur
W Ê Ê de 1 O céan, près du détroit de Gibraltar,
qu on y traverfe en quelques heures. La iner s’élar’
gît en avançant vers l’eft. Son terrein n’eft pas fer-
H H A valions fpnt arroféa par des fources,
e 4 1 6 “ *bond<mee d«s fruits de toute ef’
W B M PottuSal des efforts dans le qtiin*
rieme fiecle pour s emparer de Tanger. Edouard rot
de Portugal , y envoyafon fils dqn Ferdinand pouf
aftieger cette place-én 1437 , & Ce fiit fans fuccès. Le
roi Alphonfe fut encore obligé d’en lever le fiege en
ddee Tr aungierr ’effff3ra7y3e'sT d™e ce fH eveneemne ■nt, ab -an1do bnanbèitraennst
eux-mêmes leur ville, dont le duc de Bragance fe mit
en poffeffion 1 on chanta des te D eum de cette cou-
quête, non-feulement emPortugal, mais dans tome
« a i I h CaffilIe ’ & i Gre!
■ ■ I B PIa«e f l dotmée « Charles tt. roi
W M Ê S m P?” la,dot D a femme , l’infante de
Portugal. Elle eto;t «fors défendue par deux citadel*
les ; mais comme les frais qu’il en coûtait pour en-
tretemr es ouvrages & la garnifon , confommoient
i a.llT ^ > i Wntages qu’on pouvoit en retirer ,
les Anglots cederent a place demantelee en té84 ,
aux rots de Maroc, qui en jouiffent aujourd’hui. Long.
luivant Ibn-Said , 8. SW/iWWE „ c - M
Hu aarrrriecs , i5. S,4 . / ci. l,a t. 3W JM. J J. ( D*5°..J . ) fmvant
T an g e r , le , ( Géog. m o d .) petite riviere d’Al-
lemagoe,dans,lavtêillemarche. ElleaAfourceprès
du village de Çolbits, & fe jette dans l’Ellie à Tan-
^ T 1! ' ^ à faquelle elle donne fon nom.
TANGERMÜND , (Céug. W . ) ville d’AJiema-
gne, dans le cercle de la baffe-Saxe ƒ« l’embouchure
du _ angei dans1 Elbe, a dix lieues au nord-oueft de
Brandebourg, de à deux de Standel. L o n g .™ .. , ,
lotit. 02. 3 4 . B J -tJ*
- B H B B B ^ B
t. H m I WBBI Q D huit provinces ds
la con.treejlpide.dti n.prd de l’empire du Japon ; elle
a une journée & demie de fargeur du fud au nordç&
fe partage en cinq diftrifls ; ç’eft un pays paffablefmanenst,
hdo’énc re&v ilfaf ems,e r& lce.f o(£u1rn Jit. jafbSo ndammen■ t d=e FpUo“if-t
TÀNGUE DE m forte 4e H B| WBBË BBA ds côtes mariti-
mes.de la balle Normandie ramaffent fur les terres
baffes delà mer, pour la culture & l’engrais de leurs
terres ou pour en former (s fel au feu , eft une H
pece -de ferre fablonneufe beauçoup plus legere que
les fables communs des fonds de la mer & du bord
des cotes ; ççs.derniéts font ordinairement blancsv
m g U Ê Ê Ê m ■ ■ nuances, fuivant la na-’
* ).re d5..cf f fQnds i ils font auffi lourds dénfes &
pierreux ; la nmgae au-contraire eft très-lêgere «5
approche plus de la qualité de la terre ; c’eft auffi’ par
cette raifon qu elle le charge plus aifément du fefd e
1 eau de la mer.
Lamarée.rapporte journellementla WAvar le long
deseptes des amirautés de Granville, Goutances,,
FortrBail & Carteret, Cherbourg & d’Ifignv • les
nverajns voifins de ces côtes , «?même ils E B H 1
reurscfoignesdc plufieurs ljeues de la mer .viennent
la chercher.
Les uns répandent la tangue telle qu’ils l’apportent
du «vage ; les autres en font des tas, qu’ils nomment
tombes ô c fo r ie r e s , qu’ils forment de cette tangue &
de bonnes terres qu’ils mêlent enfemble , & quand
cç .mélangé a refté quelque-tems en maffe où il fe
qu ils veulen. t^ enofl!ermeuefrlse eler* répandent for les terres