demie, & ainfi des autres longueurs: celles qui font
incommenfiirables , comme la diagonale & le côté du
carré font une exception.
Mais elle eft bien légitime, car elle dépend de l ’in-
commenfùrabilité primordiale de la furface avec la ligne, &
du défaut de correfpon dance en certains cas des échelles
de ces mefures; leur marche eft différente, & il n’eft
point étonnant qu’une furface double d’une autre, appuie
fur une ligne dont on ne peut trouver le rapport en
nombres , avec l’autre ligne fur laquelle appuie la première
furface; car dans l’arithmétique, l ’élévation aux
puiflances entières, comme au carré, au cube, &c, n’eft
qu’une multiplication ou même une addition d’unités;
elle appartient par conféquent à l ’échelle d’arithmétique
qui eft en ufàge; & la fuite de toutes ces puiflances doit
s’y trouver & s’y trouve, mais l’extraélion des racines,
ou ce qui eft la même choie, l’élévation aux puiflances
rompues, n’appartient plus à cette même échelle, & tout
de même qu’on ne peut dans l ’échelle denaire, exprimer
la fraélion que par une fuite infinie - °J.31 &G.
on ne peut auffi exprimer les puiflances rompues ou les
racines j , ~, ^, &c. de plufleurs nombres , que par des
fuites infinies, & par conféquent ces racines ne peuvent
être mefùrées par la marche d’aucune échelle commune;
& comme la diagonale d’un carré eft toujours la racine
carrée du double d’un nombre carré, & que ce nombre
double ne peut lui-même être un nombre carré, il s’enfuit
que le nombre qui repréfente cette diagonale, ne fè
D'Ar i t h m é t i q u e m o r a l e . 1 2 7
trouve pas dans l’échelle d’arithmétique & ne peut s’y
trouver, quoique le nombre qui repréfènte la furface s’y
trouve, parce que la furface eft repréfentée par une
puiflance entière, & la diagonale par la puiflance rompue
j de 2 , laquelle n’exifte point dans notre échelle.
D e la même manière qu’on mefure avec une ligne
droite prifè arbitrairement pour l’unité, une longueur
droite, on peut auffi mefurer un affemblage de lignes
droites, quelle que puiffe être leur pofîtion entr’elles ; auffi
fa mefure des figures polygones n’a-t-elle d’autre difficulté
que celle d’une répétition de mefures en longueur,
& d’une addition de leurs réfultats; mais les courbes fè
refufent à cette forme, & notre unité de mefure, quelque
petite qu’elle foit, eft toujours trop grande pour pouvoir
s’appliquer à quelques-unes de leurs parties; la néceffité
d’une niefiire infiniment petite s’eft donc fait fèntir, &
a fait éclore la métaphyfique des nouveaux calculs, fans
iefquels, ou quelque chofè d’équivalent, on auroit vainement
tenté la mefure des lignes courbes.
On avoit déjà trouvé moyen de les contraindre, en
les afferviffant à une loi qui déterminoit l’un de leurs
principaux rapports ; cette équation , l’échelle de leur
marche, a fixé leur nature, & nous a permis de la confi-
dérer; chaque courbe a la fienne toujours indépendante, &
fouvent incomparable avec celle d’une autre ; c ’eft l ’efpèce
algébrique qui fait ici l’office du nombre; & l’exiftence
des relations des courbes, ou plutôt des rapports de leur
marche & de leur forme, ne fè voit qu’à la faveur de