Aç S S A. 1
p o u r ê tre rédu ite s à un ra ifon nem en t qui p u iffe les
d ém on tre r .
X V .
L e s M a th ém a tic ien s qui o n t c a lc u lé le s jeu x d e
h a fa rd , & d o n t les r e c h e r c h e s en c e g en re méritent des
é lo g e s , n ’ on t c o n fid é r é l ’ a rgent q u e c om m e u ne quantité
fù fc e p tib le d ’augmentation & d e d im in u t io n , fans autre
v a leu r qu e c e lle du n om b re ; ils o n t e ftim é par la quantité
n um é r iq u e d e l ’ a r g e n t , les rappor ts du gain & d e la
p e r te ; ils o n t c a lcu lé le rifqu e & l ’e fp é ran c e re la tiv em en t
à c e t te m êm e quantité n um ér ique . N o u s c o n fid é r o n s ic i
la v a leur d e l ’ a rgent dans un p o in t d e v u e d if fé r e n t, &
par n os p r in c ip e s nou s d o n n e ro n s la fo lu tion d e qu e lqu e s
cas embarraffans p o u r le c a lcu l ordinaire. C e t t e qu e ftion ,
par e x em p le , d u jeu d e c ro ix & p i le , o u I o n fu p p o fè
qu e d eu x h om m e s ( P ie r r e & Paul ) jo u en t 1 un co n tr e
l ’a u tr e , à c e s c o n d itio n s qu e P ie r r e jettera en 1 air une
p iè c e d e m o n n o ie autant d e fo is q u il fera n e c e fla ire p o u r
q u ’ e lle p ré fèn te c r o i x , & q u e fi c e la arrive du p remie r
c o u p , Paul lui d onne ra un é c u ; fi c e la n ’ arrive qu au
f é c o n d c o u p , Paul lui d on ne ra d eu x é cu s ; fi c e la n ’ arrive
q u ’au tro ifièm e c o u p , il lui d on ne ra quatre e cu s ; fi c ela
n ’ arrive q u ’ au qu atrième c o u p , Paul d on ne ra huit é cus ;
fi c e la n ’ a rriv e q u ’ au c in q u ièm e c o u p , il d onne ra fe ize
é c u s , & ainfi d e fuite en d o u b lan t to u jo u r s le n om b re
d e s é cu s : il e ft v ifib ie qu e par c e tte c o n d itio n Pie r re ne
p eu t q u e g a g n e r , & q u e fbn gain fera au moins un e c u ,
p e u t - ê t r e d eu x é c u s , p e u t - ê t r e quatre e c u s , p e u t - e t r e
huit é c u s , p e u t - ê t r e fe iz e é c u s , p e u t - ê t r e t r e n te -d e u x
é c u s , & c . p e u t -ê tr e c in q cents d o u z e é c u s , & c . peut-
ê tre fe iz e m ille trois cents q u a tre -v ing t-q u a tre é c u s , & c .
p eu t-ê tre c in q c ents v ing t-q u a tre mille quatre c en ts quaran
te -h u it é c u s , & c . p e u t -ê tr e m êm e dix m illio n s , c en t
m i l l io n s , c en t mille million s d ’ é c u s , p eu t-ê tre enfin u ne
infinité d ’ é cu s. C a r il n ’ eft pas im p o ff ib le d e jeter c in q
f o i s , dix f o i s , q u in z e f o i s , v in g t f o i s , mille f o i s , c en t
m ille fois la p iè c e fans q u ’ e lle p ré fen te c ro ix . O n d em an de
d o n c c om b ien P ie r re d o it d o n n e r a P au l p o u r 1 in d em -
n i fe r , o u ce qui re v ien t au m êm e , q u e lle e fl la fo rnm e
é q u iv a len te à l ’ e fp é ran c e d e P ie r re qui ne p eu t que g a gn e r .
C e t t e qu e ftion m ’ a é té p ro p o fé e p o u r la p rem iè re
fo is par feu M . C r a m e r , c é lè b r e P ro fe f fe u r d e M a th é matiques
à G e n è v e , dans un v o y a g e q u e je fis en c e t te
v ille en l ’année 1 7 3 0 ; il me d i t , q u e l l e a vo it e te p ro p
o fé e p r é c é d em m e n t par M . N ic o la s B e rn o u lli a M . d e
M o n tm o r t , c om m e en e ffe t on la tro u v e pages 402 &
40J d e l ’ A n a ly f è de s je u x d e h a fà rd , d e c e t A u t e u r : J e
rê v a i q u e lq u e tem p s à c e t te qu e ftion fans en trou v e r le
noe u d ; je n e v o y o is pas q u ’ il fû t p o f f ib le d a c c o rd e r le
c a lc u l ma th ématique a v e c le b o n f è n s , fans y faire entrer
qu e lqu e s con fid é ra tion s mo ra les ; & ayant fait part d e
mes idé e s à M . C r am e r (d) , il m e dit q u e j a vois r a ifb n ,
(d) Voici ce que j’en Iaiflâi
alors par écrit à M. Cramer , &
dont j ’ai confervé ia copie originale.
« M. de Montmort fe con-
» tente de répondre à M. Nie.
Bernoulli, que l’équivalent eftec
égal à la fomme de la fuite 7, f , «
i , t. &c. écus continuée à fin - «
fini, c’eft-à-dire, = f , & je ne ce
crois pas qu’en effet on puilïè ce
K ij