te lle q u ’on l ’a im p r im é e d ep u is dans les M ém o ir e s d e
l ’ A c a d ém ie d e P é te r fb o u r g , en 1 7 3 8 , à la fuite d ’un
M ém o ir e e x c e lle n t de M . D a n ie l B e r n o u l l i , fur la mefure
du fo rt, o ù j*’ai v u q u e la p lu p art de s idé e s d e M . D a n .
B e rn o u lli s ’ a c c o rd e n t a v e c le s m ie n n e s , c e q u i m ’ a fait
g ran d p la ifir , car j ’ ai to u jo u r s , in d ép en d am m en t d e fes
g ran d s talens en G é o m é t r i e , re g a rd é & re c o n n u M .D a n .
B e rn o u lli c om m e l ’un de s meilleurs elprits d e c e f iè c le .
J e trouva i aulfi l ’id é e d e M . C r am e r tr è s -ju fte , & d ign e
d ’un h om m e qui nou s a d o n n é des p reu v e s d e fon h a b
ile té dans toutes le s fc ie n c e s M a th ém a tiq u e s , & à
la m ém o ire d u q u e l je rends c e t te ju f t ïc e , a v e c d ’ autant
p lu s d e plaifir q u e c ’ e lt au c om m e r c e & à l ’amitié d e
c e S avant q u e j ’ ai dû une partie des p rem iè re s c o n n o if-
fance s q u e j ’ ai a cquifes en c e g en re . M . d e M o n tm o r t
d o n n e la fo lu tion d e c e p ro b lèm e par le s r è g le s o rd in
a ir e s , & il d it , qu e la fo inm e éq u iv a len te à l ’ e fp é ran c e
d e c elu i qui ne p eut q u e g a g n e r , eft é g a le à la fom m e
d e la fu ite t , t , t , 4 , j , ~ é c u , & c . c o n tin u é e à l ’in fin i,
& que par con fé q u e n t c e tte fom m e équ iv a len te e ft u ne
fom m e d ’a rgent infinie. L a raifon fur laquelle eft fo n d é e
c e c a l c u l , c ’ e ft q u ’ il y a un dem i d e p ro b ab ilité q u e
P ie r r e qui ne p eut que g a g n e r , aura un é cu ; un quart d e
p ro b a b ilité q u ’il en aura d eu x ; un huitième d e p robabilité
q u ’ il en aura quatre ; un fe iz ièm e d e p ro b ab ilité q u ’il en
aura h u it ; un tren te -d eu x ièm e d e p ro b ab ilité q u ’il en aura
f e i z e , & c . à l ’ infini ; & qu e par con fé q u e n t fon e fp é ranc e
p o u r le p remie r cas eft un d em i - é c u , car l ’ e fp é ranc e fe
mefure par la probabilité multipliée par la fomme qui eft
à obtenir ; or la probabilité eft un demi, & la fomme à
obtenir pour le premier coup eft un écu; donc i ’efpérance
eft un demi-écu : de même fon efpérance pour le fécond
cas eft encore un demi-écu, car la probabilité eft un
quart, & la fomme à obtenir eft deux écus ; or un quart
multiplié par deux écus, donne encore un demi-écu.
On trouvera de même que fon efpérance pour le troi-
fième cas eft encore un demi-écu; pour le quatrième
cas un demi-écu, en un mot pour tous les cas à l ’infini
toujours un demi-écu pour chacun, puifque le nombre
des écus augmente en même proportion que le nombre
des probabilités- diminue ; donc la fomme de toutes ces
efpérances eft une fomme d argent infinie, & par confisquent
il faut que Pierre donne à Paul pour équivalent,
la moitié d’une infinité d’écus.
Cela eft mathématiquement vrai, & on ne peut pas
contefter ce calcul ; auffi M. de Montmort & les autres
Géomètres ont regardé cette queftion comme bien
réfolue; cependant cette folution eft fi éloignée d’être
la vraie, qu’au lieu de donner une fomme infinie, ou
même une très-grande fomme, ce qui eft déjà fort différent,
il n’y a point d’homme de bon fens qui voulût
donner vingt écus ni même dix, pour acheter cette
efpérance en fe mettant à la place de celui qui ne peut
que gagner.
X Y I.
L a raifon de cette contrariété extraordinaire du bon