du calcul devin fient commodément comparables
a ceux de l’expérience. C’eft déformais de ce
côté qu’on va voir les. géomètres diriger leurs
efforts.
Quatrième époque. En i y53, Euler reprend le
problème dans les Mémoires de Berlin, d’après
l’énoncé précis qu’on vient de lire.
Les propriétés de la trajectoire connues à cette
époque d’après les folulions de Bernouilli , Herman,
Euler, 8ce., étoient en fuhftance les fui-
vantes :
i°. La trajeCtoire elt une courbe plane , fituée
dans le plan vertical pafl'ant par la ligne de tir.
2°. Bien différente de la trajeCtoire parabolique
, elle a fes deux brandies, l’afeendante &
la defeendante, diffemblables. r c’eft-à-dire que la
courbure & la viteffe pour un point de la branche
afeendante & pour un point de la branche defeen-
danle, lorfque ces points terminent des-arcs. également
inclinés fur l’horizon , ne font point les
memes, ces deux élémens étant conftammeu-t
I?JUS grands dans la. branche defeendante..
3°. La courbe a deux afymptotes : l’une , qui
appartient à la branche afeendante, elt inclinée à
l ’horizon fous un angle d’autant plus aigu, que
L’angle de projection elt pins petit , que la viteffe
imprimée elt plus grande & que la denfité du
milieu, elt plus c'onfidérable relativement à celle
du projectile. Dans le vide, cette afymptote devient
verticale & placée à une diltance infinie de
l’origine ou du point de 'projection, L’autreafymp-
tole ,• celle de là branche defeendante, elt verticale
& fituée à.une diltance finie du point de départ
du projeCtile.. r i "i
4°, La viteffe du projeCtile diminue en allant
vers le fpmraét , mais n’elb-pas là plus petite en ce
point comme dans le vide ; c’eft un peu au-delà
que ce minimum a lieu. La viteffe dans'la bran- ,
che defeendante a pour terme de les accrniffe- j
mens un maximum fini dentelle approche rapide-'
ment, fans cependant l’atteindre qîi’à l’infini : ce !
maximum elt. la, viteffe dont il faudroit que le ^
projeCtile fut animé" pour éprouver une réfiftance ;
égale à fôn poids!;
5°. Les amplitudes également éloignées de 45p '
ne font pas égales ', & la plus grande amplitude eft !
toujours au-de.ffous de 45°, & d’autant plus au-def-
fous que la viteffe du projeCtile éft-'plns grande , la
denlité du projeCtile plus petite ,,8c. celle du milieu
plus 'grande.,
6°. Deux trajèCtbires font femblables, quand,
fous des angles de proieCtion égaux, les hauteurs
dues aux vitelles initiales font enlr’èlles comme lès.
diamètres des prpjeCtilés.
; 70. Les équations du mouvement conduifènt à
une équation, en termes finis, de là courbe
entre deux coordonnées , dont Tune elt l’arc parcouru
depuis l’origine , 8c l’autre ,4’angle que fait
avec l’horizon.la tangente à l’extrémité de cet arc.
Si. on compare entr’elles,, celte, courbe c.elie
que décriroit le projeCtile dans le vide, toutes
chofes d’ailleurs égales, on trouve pour les arcs
terminés à des tangentes également inclinées,
qu’un certain multiple confiant de l’arc dans l’air
eft le logarithme népérien du même multiple de
l’arc dans le vide augmenté de l’unité; ce qui
établit entre les deux courbes une correfpondance
très-remarquable.
Mais il étoit trop difficile de defçendve de ces
généralités aux déterminations de calcul qu’exige
ime confrontation fuivie de la théorie avec la pratique
: pour attaquer cette difficulté avec quel-
qu’efpérance de fuccès, Eùler fe plaça dans un
nouveau point de vue : c’eft ainfi qu’il raconte
lui-même comment il s’en empare.
« Comme l’hypotlièfe de Galilée ne demande
» que l’élévation du mortier avec la viteffe ini-
» tiale ,. il n’a pas été difficile de calculer des
» tables qui marquent pour tous les- arcs poflibles ,
» tant la hauteur à laquelle la bombe arrive , que
» le point où elle doit retomber à terre : mais fi
» l’on vouloit faire de pareilles tables (dans l’hy-
» pothèfe newionienne de réfiftance ), il faudroit,
» outre les deux élémens cités , avoir encore
» égard tant au diamètre de la bombe qu’à fou
» poids 5 & partant on feroit 'dans là nécefiité de
» calculer de pareilles tables poux chaque dia-
» mètre & pour tous les poids ; ce qui fans doute.
» rendroit impraticable l’exécution d’un tel ou-
ÿM>vràge.
» Cependant, ayant bien pefé toutes ces diffî-
a cultes, je ne les trouvai .par tout-à-fait infur-
» mon table s , car j’ai remarqué qu’une infinité, de
» cas qui fëmblent différens , peuvent être compris
» daçs une même table 5 & quoique malgré cela le
» nombre de ces cas ne faille pas d’être encore
» infini, comme ils tiennent un certain ordre
» entr’eux , il fiiffira d’en calculer un certain-
» nombre pour en. pouvoir enfuite tirer tous les
» autres par la voie de l ’interpolation. Tout l’ou-
» vrage fera donc réduit à. un certain nombre de
» tables calculées; & à une inftruClïonqui en en-
» feigne Tufage , & cela M ira pour calculer
» tous les "cas qui peuvent fe préfenter dans l’ar-
» tillerie , prelqu’aulïi. promptement que dans
» l’hypothèfe de Galilée. « ,
D’après cet ingénieux aperçu, Euler divife
toutes les trajeCtoires en efpèces, déduifant le
caraCtère fpécifique de l’inclinaifon deTafymptote
de la branche afeendante, par rapport à l’horizon :
& pour ne pas avoir un-nombre infini d’efpèces ,
il attache particulièrement ce, caractère aux angles
des alymptote? pris de cinq en cinq degrés
c^e .°.0 a# 99°5 .ce qui fournit dix-huit efpèces de-
trajectoires il expofe-enfuite à l’ufage de ceux
qui voudront calculer, ces trajectoires fpécifiques,.
la méthode la plus fimple pour y réuffir , & la-
foi me.-; la plus commode des. tables- qui doivent,
préfenter les réfui tais.
La méthode, de. calcul fe réduit, en fubftance. àimaginer
la trajectoire divifée en portions qu’on
puiife fenliblenient regarder comme des droites :
Euler peafe qu’en général les arcs partiels terminés
par des tangentes dont les inclinaifons fur
l’horizon différeront de 5°, ou moins, pourront
être confidérés comme de petites droites, ayant
far l’horizon une inclin ai fon moyenne en Ire les
deux inclinaifons extrêmes des arcs : dès-lors après
avoir établi d’abord, féparément pour les deux
branches , cette djftribulion en arcs partiels en
partant du fommet où l’inclinaifon êft nulle, on
pourra aifément , d’après l’équation finie dont
nous venons de parler , entre l ’arc & les angles
d’inclinaifon de fes extrémités, Calculer les .longueurs
de ces arcsg puis en les multipliant fuc.celïive-
ment par les co-finus & les linus dés inclinaifons
moyennes , obtenir refpeÇti.vement leurs projections
orthogonales fur l’ordonnée verticale : enfuite,
parla formule des viteffes qui eft très-fimple>
calculer les vitell’es pour le commencement & la
fin de chaque arc enfin, .divifer la longueur de
chaque arc par la moyenne des viteffes initiales 8c
finales, ce qui donnera le temps par l’arG.. Cês
réfultats obtenus formeront deux tables partielles,
t’une pour la branche afeendante, l’autre pour
la branche defeendante, contenant.efi'entielleraeiit
fix colonnes, favoir : i°. celle des inclinaifons
fuceefïives des extrémités des arcs partiels,; 2?.,
cgjLle des longueurs des arc s.5 39. celle des projections
horizontales;. 4?* celle des projetions.verticales
; 5°. celle des ! viteffes finales;. 6°.. celle des
temps.
Euler fe contente à-.là fin de fon mémoire,, de
préfenter comme modèle les tables qui appartiennent
à la 12e. efpèce, 8c d’.en,expliquer l’ufagepar
un exemple».
L’appel fait aux géomètres dans-ce fhmeux-mé—
moire qui changea réellemen t la face du problème
baliftique, fut entendu. : le premier qui eut a fiez-
de patience & de dévouement pour y répondre,
fut le malheureux Jacobi, officier, diftingaé de
l’artillerie pruffienne r fon. travail ,. où il avoit
calculé un nombre d’efpèces. double de celui
du programme eulerien s’eft perdu y! il eft
vrai : mais- la j.uftice exige? qu’on,: en- falie mention
dans., l’hiftoire du problème. En- effetpendant
que l’ouvrage s’égarait au, fecrétariat de
l’Académie de Berlin, un-deftin trop rigoureux
tranchoit le fil des jours de l’auteur au-liège d’Ol—
mutz. Le jeune comte de Gaewemtz exécuta en-
fuite ces, calculs fous la.direêlion du célèbre Karf-
ten , & le public accueillit avec reconnoilfance les
dix-fept tables qui lui furent offertes dans une dif-
fertcition, académique fur la trajeâoire des projectiles
d’artillerie ( Roftock , 1764-)- C’eft d’après-
ces tables r qui ne font pas exactement conformes
au programme d’Euler, quoiqu’elles • renferment
tout ce qui eft ncèeiïaire pour les explications les
plus ufuelles-, que Lambert conftruifit des échelles
haliftiqjies (Mémoire, de .Berlin, 1 7 70& fournit.
ainfi à l’artillerie pratique, un inftrument d’un
ufage plus prompt & plus facile. En Angleterre,
Brown fe conforma plus exactement au programme
& calcula les tables avec plus d’étendue
& de précilion, y ajouta des réfumés contenant
Amplement les amplitudes & les temps , avec des
confidérations tendant à faciliter le calcul des plus
grandes amplitudes : ce travail précieux fut publié
en 1777V à la fuite d’une tradutlion anglaife
des commentaires d’Euler fur Robin s & du mémoire
de iy 53. Lombard, favant profelï’eur aux
écolés d’artillerie de France , avantageufement
connu par fa IraduCtion françaife de Robins 8c
d’Euler fur Robins, avec des notes fur l’un 8i fur.
l’autre, s’eft contenté dans fon Traité du mouvement
des projectiles (Dijon,. 17^ 1 ) de renouveler
le programme eulerien , qu’il reftreint d’ailleurs
aux cas des tirs élevés 8c foiblement tendus ,
en invitant les officiers d’artillerie à le remplir, 8c
en leur promettant qu’ils feront furs de trouver
dans les réfultats des réponfes falisfaifantes à
toutes les- queftions qu’on peut propofer- an fu~
jet des bombes. Il ajouteen pallànt, que li
l’on vouloit avoir des tables qui s’èlendiffent
à tous les cas, il faudroit multiplier les efpèces
de trajeCloire en les efpaçant de degré en degré,,
ou peut-être même par intervalles-moindres ,
au moins-pour les premiers angles afymp'totiques. -
On trouve une remarque toute fembl'able à la*
tête des tables de Brown. M. Legendre a depuis,,
dans des- Exercices de calcul intégral ( Paris
1811 ) , donné une méthode pour porter aulïi loin
qu’on peut le defirer l’approximation dans les*
calculs du procédé eulerien—
Cinquième époque. Etat- actuel dit problème?
baliflique.-
i-°- Des hommes d’ailleurs très-éclâirés difentr
affez '.fouvent avec une- forte d’humeur : à quoi?
bon cette baliftique feientifique? A-t-on le temps*
8c la volonté de con.fuller des tablés d’appliquer
des- formules , dans des batteries de fiége .bu un.
joui? de bataillé t A cela on répand qu'il-en elt"
de l’artillerie comme des-'autres arts: Le praticien
v obligé de vendre dans un temps donné le--
plus- grand nombre de; réfultats achevés , doit
être entièrement dégagé des lifières de la théo--
rie 8c s’abandonner- à la facilité que l'habitude"
a pu lui procurer : niais pour acquérir cette
habitude, il a- dû- s’aider-, dans fes premiers pas,
des l’ecours de la théorie , s’il à voulu être quelque
ehofe de plus'qu’un eiêla ve de la routine :auffi:
laiüons-nous la fcience baliftique dans les écoles
d’artillerie , où elle, eft à fa place-, 8c où elle peut'
rendre d'importuns fèrvices.
ils ajoutent, avec plus d’apparence de raifon::
de quel ufage feroit, même dans les écolés, une
folution rigoureufe du problème, 8c quy feroit-on.
de tables yolûmineufeS'& péniblement calculées
s’ il eft vrai que la pratique foit dans un tel état.
d’imperfeClion qu’elle ne. pniffe ni fournir à là