S E C T . V.
Inventio Orbium ubi umbilicus neuter datur.
Lemma XVII.
Si a data conica feSlionis punSto quovis P, ad Trapeli alicujus
A B CD , in Conica illafeSiìoneinfcripti, latera quatuor infinite
produrla A B , CD, AC, DB, tot idem reSla P Q_, PR, PS, P T
in datis angulis ducantur,fm-
gula ad fingida : reSìangu-
lum duSlarum ad oppofita duo
latera P Q_x P R, erit ad
reilangulum duclarum ad a-
lia duo lat c r a oppofita P S x
P i in data ràtione.
Cas. i. Ponamus imprimís
lineas ad oppofíta latera duâ-
as paralíelas effe alterutri re-
J¡quorum laterum, puta PQ_
8c PR lateri A C, 8c P S ac P T h teri A B. Sintq; iníuper latera
duo ex oppoíítis, puta AC 8c B D , parallela. Et reéia quæ biTeca
t parallela illa latera erit una ex diametris Conicæ fedtionis, &
bifecabit etiam RQ^Sit 0 puinSum in quo R Oftilecatur, & erit
P 0 ordinatina applicata ad diametrum illam. Produc PO adK
ut fit O K requalis PO, 8¿ erit O K ordinatina applicata ad contrarias
partes diametri. Cum igitur p uncia A, B, P & K fint
ad Conicam íe¿tionem,8¿ P K íecet A B in dato ángulo, erit ( per
Prop. 1 7 8c 18 Lib. Ili Apollonii ) rcchngulumP QK ad rcdan-
gulum A Q B in data ratione. Sed QK 8c P R aequales funt, ut-
pote acudium OK, OP, & OQj , OR difieren tire, 8c inde etiam
reft-
[ 71 ]
reaangula P £ K & P £ x P R sequalia funt; atq; adeo re&an-
gulum P £ x P R eft ad reaangulum AQB, hoc eft adreftangu-
lum P S x P T i n data ratione. Q jE. D.
Cas. 2. Ponamus jam Trapezii lateraoppoíita AC 8c B D non
effe parallela. A g eB d parallelam AC 8coccurrentemtum re a *
S T in t, tum Conicae feaioni in d. Junge Cd fecantem P Qjn r,
8c ipil P £_parallelam age D M
fecantem C d in M 8c. A B in N.
Jam ob fimilia triangula BTf ,
P B N , eft B f feuPQ a d T t ut
D N ad NB. Sic 8c Rr eft ad
A Q feu PS ut PM a d AN. Er-
go ducendo antecedentes in antecedentes
8c confequentes in
confequentes, ut reftangulum
P Q jn R r eft ad reaangulum
T í in PS, ita reaangulum N- , -
D M eft ad reftangulum ^N B , 8c (pper Cas. i ) ita reaangulum
QPr eft ad reftangulum SPf, ac divifím ita reftangulum
Q P R eft ad reaangulumP S x P T. QjL. D.
Cas. 3. Ponamus deniq; lineas
quatuor P Q_, PR, PS, P T
non effe paralíelas lateribus AC,
AB, fed ad ea utcunq;7inclina-
tas. Earum vice age Pq,Pr pa-
rallelas ipÜ AC-, 8c P r, P f pa-
rallelas ipil A B; 8c propter datos
ángulos triangulorum P Qj¡,
PRr , P S r, P Tf , dabuntur ra-
tiones P^_ad P q, P R ad Pr,
P S ad P s 8¿ P 1 ad P t, atq; adeo rationes compbíítae] P QJ\n
P R ad Pq in Pr, 8c PS in P 1 ad Pr in Pf. Sed, per íuperius
demonftrata, ratio P q.in P r ad P s in P t data eft: Ergo 8c ratio
P Qjn P R ad P S in P T. Q.JE. D. | Lem