[ 32 ]
plicata ratione laterum Ad, Ae: Sed his areis proportionales
Temper funt are« A BD , A C E , & his lateribuslatera T D , AE.
Ergo 8c arese A BD , ACE funt ultimo in duplicata ratione late-
rum AD, A E. Q. E. D.
Lemma X.
Spotia, qua corpus urgente quacmqp/vi regulari defcribit, funt ipfo
motus initio in duplicata ratione temporum.
Exponantur tempora per lineas A D , A E , 8c velocitates geni-
tse per ordinatas D B , EC, 8c fpatia his velocitatibus defcripta
erunt ut árese A B D, A C E his ordinatis defcriptse, hoc eft ipfo
motus initio ( per Lemma IX ) in duplicata ratione temporum
A D , A E. QJL. D.
Corol. i. Et hinc facile colligitur, quod corporumfimiles fimi-
lium figurarum partes temporibus proportionalibus defcribentium
errores, qui viribus sequalibusin partibus iftis ad corpora fimiliter
applicatis generantur, 8c menfurantur a locis figurarum, ad quse
corpora temporibus ijfdem proportionalibus abfq; viribus iftis per-
venirent, fun tut quadrata temporum in quibus generantur quam
proxime.
Corol. 2. Errores autem qui viribus proportionalibus fimiliter
applicatis generantur, iunt ut vires 8c quadrata temporum con-*
juniffm.
Lemma XI.
Subte tifa evanefcens anguli contaclm eß ultimo in ratione duplicata
fubtenße arem contermini.
Cas. i. Sit árcus ille AB, tangens ejus A D , fubtenfa anguli
conta&us ad tangentem perpendicular is B D , fubtenfa arcus AB.
Huicfubtenfse A B 8c tangenti A D perpendiculares erigantur AG ,
B G ,concurrentes in G ; dein accedant punita D , B, G , ad punita
d, b, g, fitq; J interfeifio linearumBG, A G ultimo fa ita ubi
punita D , B accedunt ufqj ad A. Manifeftum eft quod diftan-
[ 33 3
tia G J minor eife poteft quam aifignata quavis. Eft autem
( ex natura circulorum per punita A B G, Ab g tranfeuntium )
A B quad, æquale A G x B D 8c Abqmcl. x-
quale A^ xbd, adeoq*. ratio A B quad, j ad A f jj
A b quad, cornponitur ex rationibus A G ad
A^ 8c B D ad bd. Sed quoniam J G allumi
poteft minor longitudine quavis alligna- c
ta, fieri poteft ut ratio A G ad A g minus
différât a ratione «qualitativi quam pro
differentia quavis allignata, adeoq; ut ratio
A B quad, ad A b quad, minus différât a ratione
B D ad bd quam pro differentia
quavis aifignata. Eft ergo., per Lemma I,
ratio ultima ABquad. ad Ab quad, æqualis . q
rationi ultimæ B D ad bd. ÇAE. D.
Cas. 2. Inclinetur jam B D ad A D in angulo quovis dato, 8c
eadem femper crit ratio ultima B D ad b d quse prius, adcoqj ea-
dem ac A B quad, ad Ab quad. O. E. D.!u , J
Cas. 3. Et quamvis angulus D non deturf tamen anguli D,d
ad æqualitatem femper vergent 8c prppius accèdent ad invicem
quam pro differentia quavis allignata, adeoq; ultimo sequalcse-
runt, per Lem.I. 8c propterea linea B D , bd in eadem ratione
ad invicem ac prius. QAE. D.
Corol. i. Unde cum tangentes A D , Ad, arcus AB, A b 8ee-
orum finus BC,b c fiant ultimo chordis A B , Ab sequales; erunt
etiam illorum quadrata ultimo ut fubtenfse B D, b d}
I Corol. 2. Triangulareifflinea A D B, A ¿/¿ funt ùltimo in triplicata
ratione laterum A D f A d , inq;. ftlquiplicatajlaterum D B,
d b : LItpote in compofita ratione laterum A D 8c D B , A d Se db
exiftentia. Sic 8c triangula ABC, Ab c funt ultimo in triplicata
ra* ione laterUm BC, bc.
Corol. 3. Et quoniam D B , db funt ultimo parallela8c m duplicata
ratione ipfarum A D , Ad-, erünt areæ ultimæ curvilineæ
I A