[ 28o ¡J
Prop. XIV. Prob. IV,
IifcleiM pofitis, elico quod fpatium afcenfu vM defcenfn defer iplitm,
ejl itt fnmma vel differentia areæ per quam tempus exponitur, & a~
reee cujufdam alterius qude augetur vel diminnitur in progreffione A-
rithmetica i Ji vires ex refi (lentia & gravitate çomfoftoe : fnmantur
in progreffione Geometrica.
Capiatur AC ( in Fig. tribus uttimk, ) gravitati, Se A K refi-
ftentiae proportionalis. Gapiantur àutem ad eafdem partes pun*
£ii A fi corpus afcendit, aliter ad contrarias. Erigati1 r A b quæ
fit ad D B ut D Bq. ad 4 BAC: 8c area A bN K angbbitiir'vel
diminuetur in progreifione Arithrnetica, dûm vires C i i in pro-
grefllone Geometrica fumuntur. Dico igitur quod diftantia corporis
ab ejus altitudine maxima fit ut excefiùs atc&.AbNK fu-
pra aream D ET.
Nam cum A K f ì t ut refiftentia, id eft ut A P qS'F 2 B A F 5
aflumatur data quaevis quantitas Z , & ponatur A K sequalis
A P q.~\-îBAP^ ( per hujus Lem. II.) erit îpfius A K mo*
VT p 2 AP O ft-mentum K L «quale ----- 2B A x P B r H 2 BP Q „
are* A bN K momentum K L O N «quale fèu
BPQ_x BDcub. '
2^ x jC/C x AB
Caf. 1. Jam fi corpus afcendit, fit que gravitas ut ABq.
4- B D f . exiftente B E T circolo, (in Fig. Caf. 1. Prop. XIII.) linea
A C, qua gravitati proportionalis eft, erit A B p P BDg^
8cUPq. (euAPq.P 2 B A P + A B q .+ B D q. erit AKxZ+ACxZ
feu CKxZ : ideoque area D I V erit ad aream D P £_ut D Tq.
vel D B q. ad C K x Z.
Caf. 2.
a. Sin corpus afcendit,Ç « « &i gravitas ]
.fit ut Caf.A B q - B D q .
ììn aAC{F ig .O / 2. frap.XIH.) erit d l i = f £ l ' & D ï 3.
erit ad DP q. u tD F q . ícu D B q. aâB P q—B Dq. feu A P q. -f
2 B AP-\- A B q — BDq. id eft ad A K x Z ft- A C x Z feu C K x Z .
Ideoque area D T V erit ad aream D P & u t D Bq. ad C K x Z .
Caf. -%. Et eodqm argumento,fi corpus defcendit,& propterea
gravitas fît ut BDq. — ABq. & linea AC ( Fig. Caf. 3. Prop.
proeced. J æquetur ^ erit area D T V ad aream
D P d u t DBq. ad CK x Z : ut fupra.
Gum igitur areæ illæ femper fint in hac ratione j fi pro area
P T F , qua momentum temporis fibimet ipfi femper æquale exponitur,
fcrihatur determinatum quodvis reiftangulum, puta
B D km, erit area D P Q, id eft ì B D x F Q \ ad B D xm ut
C K in Z ad B D q. Atq; inde fit F Q^iu B D cub. æquale
i B D xm x C K x Z , & areæ A bN K momentum K L O N fuperius
inventum, fit ?.B X Auferaturareæ D E T momentum
D T F feu B Dxw, & reftabit — • Eft igitur
differentia momentorum, id eft momentum differentiae area-
rum, æqualis • & propterea (ob datum B ^ *— )
ut velocitas AP, id eft ut momentum fpatii quod corpus afcen-
dendo vel defcendendo defcribit. Ideoque differentia arearum
8c fpatium illud proportionalibus momentis crefcentia vel decref-
cefttia, 8c fimul incipientia vel fimul evanefcentia funt proportio-
nalia. Q^ E.D .
Corol. Igitur fi longitudo aliqua V fumatur in ea ratione ad
arcum E T, quam habet linea D A ad lineam DE", fpatium
quod corpus afceniu vel defcenfu toto in Medio refiftente defcribit,
erit ad fpatium quod in Medio non refiftente eodem tem-
N n pore