. IM P E, Sc his viribus urgeantur : cum vires fub initio fini ut arcus CB
8c 0 E, erunt velocitates primae Si arcus primo defcripti in eadem
ratione. Sunto arcus illi B D 8c Bd, & arcus reliqui C D , Od e-
runt in eadem ratione. Proinde vires ipfis.fiD , Od proportionales
manebunt in eadem ratione ac fub initio, Sc proprerea corpora
pergent arcus in eadem ratione fimul defcribere. Igitur
vires & velocitates 8c arcus reliqui CD , Od femper erunt ut arcus
toti C D , 0 E, 8c propterea arcus illi reliqui fimul defcriben-
tur. Quare corpora duo D , d fimul pervenient ad loca C & 0,
alterum quidem in Medio non refiftente ad locum C, 8c alterum
in Medio refiftente ad locum 0. Cum aùtem .velocitates in C &
0 fint ut arcus C B 8c 0 B ê, erunt arcus quos corpora niteriusper-
gendo fimul defcribunt, in eadem ratione. Sunto illi CE 8c 0 e.
Vis qua corpus D in Medio non refiftente retardatur in E eft ut
C E, 8c vis qua corpus d in Medio refiftente retardatur in e eft ut
fumma vis- C e 8c rciiftentiæ C 0, id eft ut 0 e ideoque virés, qui-
bus corpora retardantur, funt ut arcubus ÇE, Oe proportionales
arcus CE, 0 B ; proindeque velocitates in data ilia ratione retar-
datæ manent in eadem ilia data ratione. Velocitates igitur & arcus
iifdem defcripti.femper funt ad invicem in data ilia ratione arcuum
CB Si OB', 8c propterea fi fumantur arcus toti A E, a B
in eadem ratione, corpora D , d fimul deferibent hosarcus, Sein
locis A 8c a motum omnem fimul amittent. Ilochronae funt igitur
ofcillationes totæ, 8c arcubus totis B A , B E proportionales
funt arcuum partes quælibet B D , B d vel B E , B e quæ fimul
defcribuntur. Q. E. D.
Corol. Igitur motus velociifimus in Medio refiftente non inci-
dit in punilum infimum C, fed reperitur in punélo illo 0, quo arcus
totus defcriptus a B bifecatur. Et corpus fubinde pergendo
ad a, iifdem gradibus retardatur quibus antèa accelerabatur in de-
fenfufuo a E ad 0. >......... : - g
C 3°7 3
Prop. XXVI. Theor. XX.
Corporum Funependulornm, qua: reßßuntur in ratione velocitatum,
ofcillationes in Cycloide funt Ifochronce.
Nam fi corpora duo a centris fufpenfionum aequaliter diftantia,
ofcillando defcribant arcus inaequales, Sc velocitates in areuum
partibus correfpondentibus fint ad invicem ut arcus toti: refiften-
tiae velocitatibus proportionales erunt etiam ad invicem ut iidem
arcus. Proinde fi viribus motricibus a gravitate oriundis, quae fint
ut iidem arcus,’ eonferantur vel addantur hae refiftentiae, erunt differentiae
vel fummae ad invicem in eadem arcuum ratiöne: cumque
velocitatum incrementa vel decrementa fint ut häe differentiae vel
fummae, velocitates femper erunt ut arcus tö ti: Igitur velocitates,
fi fint in aliquo cafü ut arcus toti, manebunt femper in eadem ratione.
<Sed in principio motus, ubi corpora incipiunt defcendere 8c
arcus illos defcribere, vires, cum fint arcubus proportionales, generabunt
velocitates arcubus-proportiönales. Ergo velocitates fcm-
per erunt ut arcus toti deferibendi, & propterea arcus illi fimul
defcribentur. Q. E. D.
Prop. XXVII. Theon , XXI.
Si corpora Funependula reßfluntur in duplicata ratione velocitatum,
diper entice inter t empor a ofcillationum in Medio reßßente ac t empor a
ofcillationum in'ejufdem gravitatis fpeeißece-Medio non reßßente, erunt
arcubus ofcillando deferiptis proportionales, quam proxime.
Nam pendulisaeqüalibus in Medio refiftente deferibantur arcus
inaequales A ,B , Sc refiftentia corporis in arcu A, erit ad refi-
ftentiam corporis in parte correfpondente arcus E, in duplicata
ratione velocitatum, id eft ut A quad, ad E quad, quamproxime.
Si refiftentia in arcu B eilet ad refiftentiam in arcu A ut reöangu-
lum A B ad A quad, tempora in arcubus A Sc B forent aequalia
CLq 2 per