Maniéré de
tonnoitre par
raifonnement,
le rapport du
poids à la ré-
Jîflance du
frottement
qu’il peut eau-
Fia. 5.
7 * A r c h i t e c t u r e Hy d r a u l i q u e , L i v r e T.
les petites prifes enfemble, il fera indifférent à la puiffance P qu’il
y ait, par exemple, mille demi-fpheres de la bafe du corps Q , en-,
gagées dans les interftices que laiffènt celles de la furface AC , ou
qu’il n’y en ait qu’une chargée elle feule du poids total ; puifqu’èlle
fera capable d’une prelîion mille fois plus grande que chacune des
précédentes. Comme donc la hauteur où il faudra que la puiffance
éleve cette demi-fphere, pour la dégager d’avec les inférieures,
fera la même où il faudroit que chacune des autres s’élevaffent,
l'aCtion de la puiffance ne changera point, qu’il y ait un grand nombre
de demi - Ipheres ou qu’il n’y en ait qu’une, parce que dans
l ’état d’équilibre, fa quantité de mouvement fera toujours exprimée
par le produit du poids attribué à plufieurs demi-fpheres, ou à
une feule., par la hauteur où il faudra l’élever dans le même terris.
l i a , Nous fuppoferons donc' que voulant faire gliffèr un corps
fur un autre, toutes les particules de la baie du premier, 6c qui cau-
fent la réfîftance qu’il s’agit de furmonter, font réduites à une feule
demi-lphere D F E , foutenue par trois autres M , P , Q , appartenantes
à la lùrface du corps inférieur, Ainfi cette demi-fphere fera
engagée dans l’interftice des trois autres , qu’elle touchera chacune
en un point D , F , E ; la demi-fphere fupérieure étant chargée de
tout le poids que nous lui attribuons, tendra à écarter les autres
M , P , Q : la première M fera pouffee félon la direction OA qui
joint les centres O A , Sc qui paffe par le point d’attouchement D ;
de même la fécondé P fera pouffée félon la direction O C , qui joint
leurs centres O , C , en paffant par le point d’attouchement F : enfin
la troifîeme Q le fera félon la direction O B , qui paffe par le
point d’attouchement E. b
Préfentement, fi la demi-fphere fupérieure eft tirée par une puif-
fance R , félon une direction horizontale O R , partant du centre O,
il éft queftion de fçavoir le rapport de cette puiffance au poids attribué
à la demi-fphere fupérieure, pour que cette puiffance foit
prête à la mouvoir.
Dans le moment que la demi-fphere O eft difpofée à fuivre la
puiffance R , il eft évident qu’elle celle de prelfer la demi-lphere
M au point D , 6c qu’elle ne s’appuye plus que contre les autres P
& Q , qui la repouüènt félon les directions BO 6c CO ; ou, fi l’on
veut, felon une feule direction TO , compofée des deux précédentes
, avec une force que nous pouvons exprimer aulfi par la même
Ügnc TO.
Si l’on tire les lignes A B , A C , BC „ pour joindre les centres des
trois derpi-fpheres inférieures , elles pafleropt par les points où ces
dm ir
C h a p. II. du F r o t t e m e n t . 73
demi-fpheres fe touchent, 6c formeront un triangle équilatéral
ABC. Tirant auffi la perpendiculaire A T , elle coupera à angles
droits la verticale O G , 8c l’on aura le triangle reCtangle O G T ,
dont les trois côtés pourront exprimer les trois puiffances qui
font équilibre entr’elles pour foutenir la demi-fphere fupérieure ;
car ayant pris OT pour l’aCtion de la fphere fupérieure contre les
deux inférieures D 5c Q , OG pourra etre pris pour le poids de
cette demi-fphere, ôc G T pour l’aCtion de la puiffance R que l’on
cherche : il relie donc à trouver le rapport de G T à GO.
Pour y parvenir, je confidere que les lignes O A , O B, O C ,
A B , A C , B C , font égales entr’elles, 8c forment les arrêtes d’un
tétraèdre qui a pour axe la perpendiculaire O G , car elles font chacune
double du rayon d’une des demi-fpheres ; ainfi BC fera divifé
en deux également au point T. Or fi l’on fuppofe que BO foit
compofé de fix parties égales, à caufe du triangle reCtangle OBT,
le quarré de BO valant 36 , & le quarré de B T 9 , celui de O T
fora de 27. ,D autre pa rt, on feait que le centre de gravité d’un
triangle équilatéral eft le même que celui de grandeur, & la figure
ACBO étant une pyramide régulière, le point O fera le centre de
gravité de cette bafe, 8c fe trouvera au tiers de la ligne A T , tirée
de l’angle A au milieu de fon côté oppofé ( lÿ q f j ainfi G T fera
fe tiers de la perpendiculaire OT, 8c le quarré de OT étant de 27,
celui de G T , qui en eft la neuvième partie, fera de 3 , Se celui de
OG de 24, à caufe du triangle reCtangle OGT.
-2 i. Si 1 on multiplie ces deux nombres par 10000, pour en avoir
es racines plus exactement, on trouvera qu’elles peuvent être
exprimées par 173 6c 489, ces deux nombres étant à-peu-près dans
le rapport de 1 à 3. I l fuit que, dans la pratique, la puiffance R pourra
etre confidérée comme étant égale au tiers de la demi-fphere ; d’autant
mieux qu’il arrive rarement que le frottement qui fe rencontre
dans les machines foit tout-à-fait fi grand que nous le fuppo-
lons ici, par le foin qu’on prend de polir les furfaces des parties
qui doivent fe toucher, 8c de les enduire de vieux oing pour en
rendre le mouvement plus doux. En effet, quand la graiffe s’eft
innnuee dans les concavités imperceptibles que laiffenc entr’elles
les paiticules laillantes, elles ne s’engrainent plus tant. On peut
donc conclure que fi la demi-lphere fupérieure pefoit 60 liv. il fau-
roit en vu on 20 liv. de force à la puiffance pour commencer à la
tuer a lo i, 6c que fi ce poids de 60 liv. au lieu de 11’appartenir qu’à
une foule demi-fphere, étoit également diftribué à un grantknom-
D.re d autres unies a une même furface comme dans la première
J art, 1 , lomc I , v
Fig. 5.
Pour qu'une
puiffance puif
fe furmonter
la réfiflance du
frottement 3 il
faut qu’elle
foit égale au
tiers du poids
qui le caufe»