É4 ARCHITECTURE HYDRAULIQUE, L lVRE I.
teur ; mais comme le tems qu’il emploie à parcourir ces plans eft
. différent, nous allons donner, dans le ‘problème fuivant, une formule
générale pour le trouver, qui étant enfuite particularifée par
l’effence de la courbe prife de fon équation, donnera le tems employé
à parcourir cette courbe.
Formule pour zoz. Ayant trouvé ci-devant dud% = d td x, on en tirera dt
des corps qui = £ ïS ou mettant pour d u , fa valeur ^ , il vient dt = —. Ainfi
roulent le long » ; I . . , . '
des coupes. JL fera Ja différentielle, ou l’élément du tems ; ce qui eft bien évident,
car cette différentielle n’eft autre chofe que le tems qu’il faut
pour parcourir le côté M ot (d() qui étant parcouru avec la vîteffe u ,
doit être dJL , l’on a donc ; == S. d- = S. Préfentement, fi l’on
» ’ “ -dTx
met pour d$ la valeur que l’équation de la courbe lui donne, l’on
• aura la différentielle du tems exprimée par une feule variable ; Sc
fa différence dont l’intégrale fera le tems cherché. Nous fuppofe-
rons dans la fuite u ~ \ / x , parce que cela eft plus fimple, & le
rapport des chofes en demeurera toujours le même ; ainfi tout fera
également vrai.
& On pourroit appliquer la formule S. A à\ quant*i té» de courbes,
mais la plûpart de ces courbes changent cette formule dans une
différentielle qui n’a point d’intégrale finie, ce qui n’offre rien de
fimple ni de curieux ; c’eft pourquoi je vais feulement l’appliquer
à la cycloide(impie, à caufe quelle y fait découvrir plufieurs ehofes
nouvelles ôc curieufes.
203. Suppofant une cycloide BME qui ait pour origine le point
F ig. 76. E , & pour cercle générateur le cercle AD E : S i un corps commence
Application à tomber du point B le long de la courbe B M E , je dis que les tems qu’i l
* mettra à parcourir les arcs de cycloide B M , M m , B E ,M E , & c.fe-
\lycloïdf, ~ font enireux comme les arcs de cercle corrçfpondans A D , D d , A E ,
D E -, la ligne CP & fes femblables étant perpendiculaires fur AE.
Soit A E = a : EC = x ; Cc = M R = flhr : M ot = d. ,■ AC ou
BP fera = a — x : le peins t fera = S. —y .l—p. l’équation différentielle
de la cycloïde eft dr — ; mettant cette valeur, de 'A
Y x
V 6
dans la formule du tems , on aura dt
dxyftâ
pour le tems
employé à parcourir l’arc Mot. Préfentement, les triangles femblables
C h a p . I. de l a M é c h a n iq u e . df
bkbles C D L , S i D donnent Ci f) : y7 ax— XX ) j LD ( î ) : : i/S [dx)t
B ~ _____ Or cette valeur d eDd fait voir que D d 6c dt font
1 y a x ---XX ‘ - X
toujours en raifon confiante : donc le tems employé à parcourir
M ot, eft exprimé par l’arc D d, Sc comme cela arrive toujours, en
quelqu’endroit qu’on prenne les arcs M ot, D d , il fuit que le tems
employe a parcourir tel arc fini, comme BM , fera exprimé par
1 arc AD ion correipondant, & ainfi de tous les autres.
204. Le corps étant parvenu par fa defsente le long de la cy- J I5
cloïde au point M , le chemin qu’il aura fait fera exprimé par l’arc
de cycloide BM , le tems qu’il a mis à le faire fera exprimé par
l ’arc de cercle AD , & la viteflè acquife à la fin de ce tems le fera
par la racine quarrée de AC . D ’où il fuit que dans la courbe BNS
('Lig- 75 ) dont les abfciffès BN exprimeroient les tems de la def- Fig.
cente d’un corps fur une cycloide, & les ordonnées N S , les vî-
tefles à la fin de ces tems ; fi les abfcifTes de cette courbe font
égalés a des arcs de cercle , les ordonnées correfpondantes feront
égales aux racines cjuarrées de$ jdnus verfes de ces arcs.
205. L e tems que le mobile met à parcourir la cycloide B M E par fa
pefanteur, eft au tems qu’i l mettroit à tomber de la hauteur A E du diamètre
du 'cercle générateur, comme la demi-circonférence d ’un cercle eft
à fon diamètre.
^ yMous venons de trouver que l’élément du tems (.203), eft
«tant multiplié par ^ fera é lément D d de la demi-
circonférence ; donc l’intégrale de cet élément étant multipliée
par fera l’intégrale de l’élément D d , qui eft la demi-circonférence
A D E ; donc cette demi-circonférence étant multipliée par
fera l’intégrale de V' “ ; donc t = S i -X^ a - dey
a x —~ x x y/ a x x x
mi-circonférence AD E x Mais le tems que le mobile met à
tomber de la hauteur A E eft d? ; donc ce tems eft au tems t ,
comme ^ eft à :: A E (a) eft à ADE.
106 . Le tems employé à parcourir la cycloide eft ADE x — •
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