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tr o u v e r une
fo rm u le q u i
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V ea u.
Plan. 8.
Fie. 7<S.
134 A r c h i t e c t u r e H y d r a u l i q u e , L i v . I .
555. De tous les problèmes qui ont rapport au mouvement des
eaux, Sc même à la pratique, en général, je n’en connois point de’
plus difficile à réfoudre que celui de mefurer la dépenfe d’un orifice
vertical Sc circulaire , placé au-dejfous du niveau de l'eau ; car
on ne peut parvenir à une formule que.par un calcul algébrique fort
compofé, dont l’application dépend d’un grand nombre d’opérations
arithmétiques, qu’on ne peut exécuter fans avoir cette formule
fous les yeux ; cependant comme je ne négligerai aucune
cîrconftance pour en rendre la pratique commode, on ne biffera
pas d’en faire ufage, moyennant un peu de patience 8t d’exactitude
a fuivre ce que je prefcrirai.
Nommant b , le diamètre AD de l’orifice ; c , la plus petite
hauteur E A de l’eau; a , la plus grande vîteflè D H de l’eau;
q , la plus petite A F ; p , le paramétré de la parabole ; x , l’indéterminée
A P ; on aura PM = y/bx—x x , par la propriété du
cercle, Sc PN = y pc — p x , par conféquent d x x PM x PN
= \/bcpx -+- bpx'-—- pcx'" — p x î pour l’élément différentiel du
folide , ou d x \ /p x x y /b c -i-b x—-e x— x 1, 8ç faifant b — ç = •—f
en fuppofant AD (b ) moindre que A E ( c ) , on aura p \ x '~ dx
x \Jbc —f x — x x .
5 j 6. Comme on ne peut avoir l’intégrale de cette différentielle
que par approximation , à caufe des grandeurs qui font fous le
ligne, voici la maniéré d’en extraire la racine, différente de celle
dont je me fuis fervi dans le cas précédent, (553) m’aÿant paru
plus générale Sc celle qui donne le plus de termes de la fuite que
l ’on cherche en moins d’opérations : elle eft tirée de Analyfe démontrée,
Liv. 7 , Art. 175.
I l faut fuppofer \/~bc—f x —x x—'Ç, pour avoir bc—-fx—x x = j r ,
d’où l’on tire 77 -f- x x - h f x— b c = o. Comme il s’agit d’avoir lu
valeur de y , il faudra fuppofer que cette lettre eft égale à une fuite
infinie de grandeurs pofîtives que voici; 7 = A - t -B x - j-C xM -D x *
-f-E x+ -t-F x i - t -G x 4, 8ec. Les lettres A , B ,C , D , &c. font des
indéterminées que l’on déterminera de la maniéré qui convient
pour avoir y. Quarrant y , & fa valeur, on aura
JJ = A1 -J- zABx -+- zACx1 -fr ; ADxî-f-iAE*4-+- iAF*< -f- lAGx6. Scc,
-f- B1*1 iBC*> iBD*4 -4- jBE*! -+■ zBTx6. &c,
-+r C1*4 zCDx> -+- iCEx6, &c, -J— iD1*4. ftç,
Chap. III. d e s Réglés, de . l’Hydraulique. 235
Si l’on metjdans l’égalité yy—-b c-y-fx x x = o) à la place da
j j , la fuite qui. en eft la valeur , elle fera,changée en cette autre,
A i 4 - z A B * 4 - z A C * i 4 - zA D # 3 4 - z A E * 4 4 - z AFx 5 zAG x 6.S c c. \
B l * 1 4 - z B C * 3 4 - zBD^r4 - f - z B E * 5 - f- z B F * 6. 8c& [
+ x X - h c ’ x4 -W CD * !-^ iC E *4. & c . f = « - ic + - f* + * •
-1- D 1 * ? . S z S .J
Comme on peut, à caufe des indéterminées A , B , C , Scc. qui
Le trouvent dans les termes précédens, fuppofer chacun de ces
termes égal à zéro , afin de tirer de cette fuppofition les valeurs
de A , B , C , Scc. pour les mettre dans la fuite infinie, qu’on a
fuppofé être la valeur de y f i l’on agit de la forte , cette fuite fera
véritablement la valeur de y , puifqu’étant fubftituée à la place de
cette lettre dans yy— b c -y -fx -y -x x— o , elle rend cette égalité,
qui a pour lors une infinité de termes, égale à zéro,, puifque les
grandeurs qui compofent chaque terme fe détruifent par des lignes
contraires. Mais comme on ne peut avoir une fuite compofée
d’une infinité de termes, on ne fçauroit auffi parvenir à une valeur
exadte de y , c’eft pourquoi il faut fe contenter d’en approcher
de plus en plus, en augmentant le nombre des termes de la fuite ;
cependant je me bornerai à fix pour éviter l’extrême longueur du
calcul, ils feront fuffifans pour i’ufage que nous en voulons faire.
557. On aura donc , pour le premier terme, A 1 — b c— o , ou
A = \/b c ; pour le fécond i A B -+-ƒ== o , ou B = — 7^ — — Tyfî.
puifque z A = i y bc. Opérant de la même maniéré fur les quatre autres
termes fuivans, on trouvera C = =4r^T=i—• D = — - V %bc y 6 c I 6 i c v i c
•p j / 4 z ^ b e f1 —— 1 6bl cz p 7 P —— 40B c p 48b zc zf
** i z Z b h t ÿ f T Ï X î6b * c * \jV c
Si l’on met, à la place de A , B , C , & c , leur valeur dans la fuite
y = A -4- B x + C x 1 , Sc c . on aura la valeur approchante de y ,
par conféquent la racine quarrée de bc—f x —-xx. Sur quoi il eft à
remarquer, que comme cette quantité eft'moindre que Fc, fa racine
doit être moindre que \/b c , auffi toute- la fuite que l’on vient
de trouver eft moindre que \/b c , tous les termes qui fuivent cette
grandeur étant négatifs. D ’ailleurs ces mêmes termes vont toujours
en diminuant, puifque ce font des fractions qui ont au dénominateur
les puiffances de b c, plus grandes que celles de f x qui
font au numérateur ;. par conféquent plus les puiffances des grandeurs
qui font au numérateur 8t au dénominateur augmententy