6 i A r c h i t e c t u r e H y d r a u l i q u e , L i v r é I.
de l’angle A B C , d’où il fuit que la vitejfe que le corps acquèrera en
tombant de A en B ,e ft à celle qui lu i rejlera au point B pourfuivre la
direction B C , comme le Jinus total efi au Jînus du compliment de l'angle
formé par les deux plans contigus.
100. Si l’on vouloit fçavoir de quelle hauteur un corps devroit
tomber librement dans l’air pour acquérir une vitefTe égale à celle
qu’il acquéreroit en tombant le long de plufieurs plans contigus
Fie- 7 1 . A BCD ; il faut du point A mener, comme ci-devant, la ligne horizontale
A F qui rencontrera les plans DC St CB prolongés en F
St en G ; décrire fur G B le demi-cercle GNB ; prolonger le plan
B A jufqu’au point N , d’où abailfant la perpendiculaire N E , l’on
aura le point E duquel devroit tomber le corps pour acquérir, en
fuivant la direction E B , la même vîteftè au point B , qu’il auroit
en tombant de A en B , ou la même vîtelfe au point C , en fuivant
le plan incliné E C , que s’il étoit tombé le long des deux plans contigus
ABC. (198): ' _ T . r „
Menant auili du point E la ligne horizontale E l , julqu a la rencontre
de la ligne F D , il faut encore décrire le demi-cercle IH C ,
prolonger le côté CE jufqu’au point H , d’où l’on abailfera la perpendiculaire
H K pour avoir le point K duquel le corps dcvioit
tomber pour acquérir en defeendant, fuivant la direétion K C , la
même vîtelfe au po-nt C , que s il etoit tombe de A en C , ou la
même vîtelfe au point D , fuivant la direction KD , ou KM , que s’il
«voit fuivi les plans contigus E C D , ou ABCD.
M. Varignon ell le premier qui ait traité ce fujet avec précifion,
dans un Mémoire qu’il donna à l’Académie royale des Sciences,
en 16 9 3 , où il releve l’erreur de G alilée qui penfoit, comme ont
fait plufieurs autres qui ont écrit après lu i, que la vîtelfe qu’un
corps acquiert en tombant le long de plufieurs plans inclinés
A BCD étoit la même que s’il tomboit librement de la hauteur
A L , qui ell celle du point de repos A au-delfus de l’horizontale MD;
n’ayant point fait attention que la vîtelfe acquife en parcourant le-
premier plan étoit diminuée par la rencontre du fécond ; que celle
qu’il avoir à la fin du fécond, étoit aufli diminuée par la rencontre
du troifieme ; ainfi des autres,
Une furface courbe AM pouvant être regardée comme compo-
fée d’une infinité de plans contigus, on ne peut pas dire que la vî-
Fis, 74. telfc d’un corps qui defcendroit le long d’un tel plan augmente à
chaque inllant d’une égale quantité, mais félon une loi qui ell particulière
à la courbe fur laquelle le corps defcend ; ainfi tout ce
que nous avons dit fur les plans inclinés ne peut faire tirer aucune
C h a p . L d e 1 a M é c h a n iq u e , 65
conféquence au fujet des courbes ; & fi nous allons découvrir
quelque chofe qui leur foit commun, ce fera par un principe
entièrement indépendant de celui qui a fervi pour le plan
incliné.
lo i . S i un corps defcend par le mouvement de fa pefanteür , fo it fu r
un p la n , foitfur une courbe convexe, ou concave , je dis que fa vitejfe
fera toujours exprimée p a rla racine quarrée de la hauteur verticale d’où
i l efi defcendu depuis le commencement de fa chûte ; ou que cette vitejfe
eft égale à celle que le mobile auroit acquife en tombant verticalement
de la-même hauteur.
Suppofons que les tems que le mobile a mis à parcourir les cfpa-
ces AM &c km depuis le point de repos font exprimés par les abfcif-
fes BN, B n d’une courbe (Fig.75) dont les ordonnées N S , ns expriment
les vîteflès acquifes à la fin de ces tems : foit l’efpace AM
droit ou courbe = = 7 , M mjgsd^; la hauteur verticale A P = x ,
M R = dx , BN = t , N« = dt = la vitejfe accélératrice ; NS = « ,
qS === du ; ainfi l’efpace AM (7) a été parcouru pendant le tems t,
pendant lequel s’eft acquife la vîtelle u qu’il faut trouver. Pour cela,
remarquez que N S (u) étant la vîtelîè que le corps a dans l’inftanc
N« (dt), la fuperficieNS pourra exprimer l’efpacéqu’il parcourt pendant
cet inllant, & la fuperficie curviligneBNS exprimera l’efpace
parcouru pendant le tems BN (t). Mais pendant ce tems le mobile a
parcouru l’efpace A M ; donc l’on aura AM ( f = B N S ==,S. udt,
donc d-q — udt : ce qui fe doit entendre d’une égalité de rapport,
d’où l’on tire dt = ^ J, de plus , u étant la vîtelîè que le corps a au
point M , qS (du ) fera la quantité dont elle s’augmente fur le plan
incliné MRm pendant l’inllant dt c mais fans ce plan elle fe feroit
augmentée de dt ; ainfi l’augmentation de vîtelîè fur le plan M R ot
ell à. d t, comme M R eft à M m ; ce qui donne du-, dt 1 : dx , d-q;
donc dud^ = dtdx ; mettant dans cette équation pour dt fa valeur
~ , elle deviendra dud^ = —ï , ou du = 7 7 , ou u du = d x ;
E xam e n du
mouvement
des corps qui
roulent fu r dt A
fu r fa ce s cur■*
vïlienes.
Fig.. 7 1 ,
73> 74» 7Î*
prenant l’intégrale F uu = x ; ce qui donne u — f z x . Donc la vx-
telîè que le corps a au point M ell égale à celle qu’il auroit acquife
en tombant de la hauteur A P ; car il ell facile de voir que cette-
derniere eft égale à \/zx.
Nous venons de voir que la vîteflè d’un corps qui eft tombé le
long d’un plan , foit reétiligne ou curviligne, eft égale à celle qu’il
axuroit acquife en tombant perpendiculairement de la même Eau