c a l 3 d o n t le
fo m m e t répond
a u n iv e a u de
l'e a u y i l f a u t
m u ltip lie r le
q ua rré de fo n
d iam è tre p a r
le s h u it quin zièm
es de la
p l u s grande
v îte jje de
V e au .
Fig. 73.
1 jo A r c h i t e c t u r e H y d r a u l iq u e , L i v . I.
des orifices circulaires Sc verticaux, ce qui paroît n’avoir été
tenté par aucun de ceux qui ont écrit fur le mouvement des
eaux.
Pour rendre nos calculs plus commodes, nous n’aurons égard
qu’aux folides formés par la fournie des produits des élémens d’un
aemi-cercle, 8c par les ordonnées correlpondantes de la parabole,
parce que le diamètre du demi-cercle étant vertical, ce folide
fera exactement la moitié de celui qui doit exprimer la dépenfe
du cercle entier.
Ayant un demi-cercle A E B , 8c une demi-parabole AFD qui
a pour axe le diamètre A B , on demande quel fera le folide formé
par la fomme de tous les plans compris lous les élémens LP du
denai-çercle, conlidéré comme la largeur des lames d’eau, Sc fous
les ordonnées correfpondantes PM qui expriment la vîtefïe de ces
lames pendant un tems déterminé, (536 )
Nommant a la plus grande ordonnée BD ; r , le rayon du demicercle
; x , la coupée A P ; Pp fera dx ; 8c LP fera f i zrx — x x , par
la propriété du cercle. D ’autre part, celle de la parabole donnera
A B ( z r ) , A P ( x ) : : BD (a a ) , PM = ^ ; fuppofant, pour
abréger, af i = c , on aura PM x P L = \/c x x f i z r x —• x x , ou
fiz r e x 1 — e x ’ = x fiz rc — e x , qui étant multiplié par d x , donne
x dx f i zrc—e x , ou x dx x zrc — ex ’ pour l’élément du folide,
qui eltune différentielle binôme, (*) dont l’intégrale eft exacte ou
fin ie , puifque l ’expo faut de la changeante qui efi hors du fig n e , étant
augmenté de l ’unité, efi un multiple de Fexpojant de la même changeante
fous le figne.
Pour en trouver l’intégrale , nous fuppoferons zrc —"ex - = y ,
d’où l’on tire zrc — « e = y y , ou x = zr — — , dont la différentielle
eft d x = — . Or fi l’on met à la place de x 8c de dx leurs valeurs
dans x d x f i zrc— e x , on aura z r— — x — — , ou — S ç c ' v • Z ^ d l ^ont ]’]nt^^rale efl; --- lÿ X . A ce 5 0 2 C SCC _________f _______ 3 ---------I .
Mais l’on a y = zrc— e x ’ , donc fse=zrc—ex 8c f — zrc—ex 3
A n a ly fe démontrée, articles 6 6 9 & 6%7.
C haf. III. des R églés de l’H ydraulique. 13 1
fi l’on met la valeur de f 8c de f dans l’intégrale, elle deviendra
d- x zrc—e x 1 —~ y. zrc—e x 1 , que l’on peut mettre fous cette autre
forme'— x zrc—e x 1 x zrc—e x 1 — %- x zrc- -ex x zrc—ex ou
* ' ■' ■ O'-';- u r q " - J
bien il .viendra, en élevant les quantités qui ont des expofans. entiers
aux puiffances dont ils font les expofans , 8 *~l~ IX
x zrc—ex ’ -H v= x z rc—e x ’ . Ajoutant enfemble les grandeurs
qui multiplient zrc—ex ’ , on aura 1 1
X zrc—-e x 1 , qui étant réduit en même dénomination , donne
—i^ r x - + - 6 x r——^ o r z -+ -to r x 1 6rz -— 4 rx -+ -6 xl■ x 2.rc—ex
qui eft l’intégrale que l’on cherche. Pour s’en affùrer, il n’y a qu’à
prendre la différentielle ( * ), 8c l’on trouvera xdx f i z re S c x , toute
réducàion faite, qui eft l’élément différentiel du folide. Pour voir
fi l’intégrale eft complette, il faut fuppofer x = 0 , alors il reliera
— — x zrc’ qui étant retranché, l’on aura, pour l’intégrale complette,
- f i zrc—ex x f i z
Si l’on fuppofe x = z r, on aura — —-----x f i zrc— zrc
-f- f i - x f i zrc, qui fe réduit à ~ f i zrc ; fubftituant à la place de
c , fa valeur f i , on aura '-fi- ^ f i f i = f i r La , qui fait voir que le
folide dont i l s’agit eft les Jii^ c quinzièmes du parallelepipede compris
fous le quarré du rayon & fous la plus grande ordonnée; ou, ce qui efi
la même chofe, les quatre quinzièmes du parallelepipede compris fous le
quarré du diamètre & fous la plus grande ordonnée. Ainfi pour avoir la
dépenfe entière par fécondé d’un orifice circulaire dont le fommet
répond au niveau de l’eau, i l fau t prendre les huit quinzièmes du produit
du quarré du diamètre, par la viteffe dont un corps ferait capable
par fécondé, l'ayant acquife par une chûte égale au diamètre de l’orifice.
,5 5 1 . Pour avoir le folide formé par la fomme des produits des
élémens du quart de cercle A EC 8c des ordonnées correfpondantes
de la parabole, il faut fuppofer x—r, Sc mettre cette valeur dans
G g *i
Fig. 7 3 .
P o u r m efurer
la dépenfe d ‘ u n
p e r tu is en d em
i-cercle d o n t
(*) A n a ly fe des Infinimens p e t i t s, article 7*