pepeudant, dans le cas que nous venons de donner pour exemple, un des diamètres extrêmes
est plus que double de l’autre.
Pour ramener la formule générale (A) au cas des bois cylindriques, il faut faire C = c,
et cette formule devient :
V = ~ . C ,
et on voit sur-le-champ que le facteur constant de chacune des quatre règles relatives
aux bois cylindriques, doit être triple du facteur constant de la règle correspondante
au même cas pour les bois de grosseur variable.
Avant de donner les formules relatives aux bois carrés de forme variable, il faut
d’abord avoir une idée exacte de l'espèce de solide donc ces bois ont la forme, sinon
’ rigoureusement, du moins d’une manière assez approchée pour qu’on puisse leur supposer
cette forme sans commettre d’erreur qui tire à conséquence.
Concevons sur un plan deux lignes droites parallèles dont les longueurs seront respectivement
désignées par B et i , situées de manière qu’elles soient coupées par la perpendiculaire
commune à leurs directions ; construisons sut ces droites B et A, et dans
des plans perpendiculaires à celui qui les renferme, des parallélogrammes dont ces droites
soient les bases et dont les hauteurs respectives soient H et Aj concevons ensuite trois
plans, l’un passant par les hauteurs H et A qui se trouvent d’un même côté par rapport
aux droites B et A; le second passant par les hauteurs H et A placées de l’autre côté
des mêmes droites, et le troisième renfermant les sommets des deux hauteurs H et des
deux hauteurs A. Nous aurons ainsi forme une espèce de coin tron q u éy dont la pyramide
tronquée est un cas particulier ; les deux faces extrêmes de ce solide sont des
parallélogrammes, et ses quatre faces longitudinales des trapèzes; toutes ses sections transversales,
prises parallèlement aux faces extrêmes, sont aussi des parallélogrammes!
Telle est la forme qu’on peut supposer aux bois que nous, appelons bo is carrés de
grosseur variable 3 avec certe particularité que leurs dimensions en longueur sont ordinairement
grandes par rapport à leurs dimensions transversales ; et si , dans les usages
pratiques, les bois ne sont pas rigoureusement ainsi conformés , on peut presque toujours,
ainsi que nous l’avons déjà observé, les considérer comme tels sans erreur qui
tire à conséquence.
Appelons base du s o lid e , le trapèze situé dans le premier plan, où nous avons considéré
d’abord les parallèles B et b.
Désignons par a la longueur de la pièce, c'est-à-dire la distance entre ses deux faces
extrêmes parallélogrammiques et parallèles entr’elles, et supposons que b e t h sont les côtés
du petit bout de cette pièce; faisons passer par celui des deux côtés A, qui n’est pas dans le
plan de la base un plan parallèle à cette base, nous partagerons le solide en un parallélipi-
pède ayant même base que ce solide et une hauteur A, dont le volume est par conséquent
égal à— a h (B —i— A), et en un coin dont la tête a une largeur H —A; divisons ce- coin en
deux pyramides par un plan perpendiculaire à la base du solide, et passant par les deux hauteurs
A et H diagonalement opposées, le volume de l’une de ces pyramides sera f a b (H — A)
et le volume de l’autre sera ~ a B ( H — A).
Le volume cherché se compose donc des trois volumes partiels fa A (B-J-A),f a b (H— A)
et a B (H — A); si on désigne par V ce volume cherché, on aura :
V = a [ f A (B —1-A) -fi- ( f A —fi- f B ) (H — A)] ,
d’où on déduit, toutes réductions faites :
(B).......... .. V = . f a [H (B - t - f A)4-A (A -K B )1.
La première règle, pour les bois de grosseur variable, n’est que la traduction de cette
formule en langage ordinaire ; les quantités B et A sont ce qu’on a appelé les largeurs au gros
et. au petit bout, H et A étant les épaisseurs respectives à ces mêmes bouts.
Si B , A, H et A sont exprimés en pouces, et que, par conséquei t , le facteur de f a représente
des pouces carrés, a représentant un certain nombre de pieds, il est visible que, pour
avoir V en pouces cubes, il faut au nombre de pieds î substituer le nombre 11 ï ou 4 a ,
conformément à la seconde règle.
Le facteur de f a représentant toujours des pouces carrés ou des 144" de pieds carrés, et
a étant exprimé en pieds, pour avoit V en pieds cubes, il faut, au nombre - substituer
— . - ou 0,00x3148 a conformément à la troisième règle.
I H4 . . . . .
. Enfin, si on veut convertir en solives le volume en pieds cubes donné par la troisième
règle, il; faut en prendre le tiers, c’est-à-dire, que le facteur de f a représentant des pouces
carrés et f a représentant des pieds, il faut à f a substituer 03?-— — a , ou 0,000771 6 .a
conformément à la quatrième règle.
Dans le cas des bois carrés uniformément gros, on a H = A, B = A, et l’équation (B)
devient :
V = a B H ,
équation qui donne la première règle ci-dessus, posée pour les bois de cette espèce.
Le produit B H représentant des pouces carrés, et a représentant des pieds, pour avoir
V en pouces cubes, il faut à a substituer 1 z a , conformément à la deuxième règle.
. Le produit B H représentant des pouces carrés, et a représentant des pieds, pour avoir
V en pieds cubes, il faut à a substituer — - ou 0,006944 a , conformément à la troisième
144
tègle.
Enfin, B H et a représentant encore les mêmes espèces de quantités, pour avoir V en
solives,.il faut à a substituer f ( ——^a ou o,ooz 3 148 a, conformément à la quatrième règle.
.. . _. *4 4 ' f •11' »
Nous avons considéré le bois carré de grosseur variable comme le tronc d’une espèce de
coin, dont la forme satisfait aux conditions générales du problème ; la pyramide est un cas
particulier de cette forme, e t, dans ce cas, les sections, au gros et au petit bout, étant des
figures semblables, on a H A = . A B , et en combinant cette équation avec l’équation (B)
ci-dessus, la valeur de V , dans le cas du tronc de pyramide, devient :
( C ) ........................................V ztr: f- a [H (B —f- A) -fi- A A],
Le. cas général exige très-peu de calcul de plus que ce cas particulier.
On pourra comparer les règles de calcul que nous avons déduites des équations (A) et (B),
avec celles que donne M. de Sept-Fontaines, pages 6 et 76, pour les cas généraux des bois
ronds et carrés de grosseur variable ; nous 11e doutons pas que les nôtres ne paroissent
plus favorables à la facilité des opérations et à l’économie du temps; ces avantages sont
encore augmentés par les petites tables dont nous avons accompagné l’exposé des règles;
mais ces tables n’offrent, au calculateur, que de foibles moyens, en comparaison de celui
dont nous allons parler.