xviij IN S T RU C T IO N ,
du 9 de la ligne horizontale supérieure, et on trouvera dans cette case le nombre 0,7192.,'
qui est la fraction décimale cherchée.
Nous avons donné ces fractions décimales à la précision des dix millièmes ; mais on n’est
pas toujours obligé d’employer la décimale .du quatrième ordre'; on se bornera., suivant les
cas, à celle du troisième, deuxième, et même du premier ordre, en ayant l’attention
d’ajouter une unité à la dernière décimale que l’on.conserve, lorsque la première de celles
qu’on néglige est égale à 5, ou plus grande que 5.
$ . V .
D ém o n s t r a t io n s des règles de calcul données dans le paragraphe précédent.
NOTA. C e u x qui ne veulent connoître que le s p rocédés p ratiqu es du ca lc u l, pourront s e disp
en s er de lire ce paragraphe.
Quoique la présente Instruction soit rédigée spécialement en faveur de ceux qui ne
veulent connoître que la pratique du calcul, nous avons cru devoir y joindre les démonstrations
suivantes pour épargner le sacrifice de quelques instans aux personnes qui voudraient
vérifier l’exactitude de nos règles.
Nous allons , d’abord, donner la formule pour le calcul des bois ronds de forme
variable :
La pièce de bois est supposée avoir la forme d’un cône tronqué a base circulaire ; le
plan de cette base et celui de la section sur laquelle on a tronqué le cône, étant perpendiculaires
à l’axe. On mesure avec un ruban divisé- les circonférences extrêmes de cette
pièce, et il est beaucoup plus exact d’introduire ces circonférences dans le calcul^ que les.
rayons.
Soient :
La circonférence du gros bout f j j g ........................................................................................ C
La circonféiénce du petit bout = ............................................................................... .. . . . c
La longueur de la pièce = ................................................................................................... a
La distance de l’extrémité dë l’axe, vers le petit bout, au sommet du cône dont cette
pièce fait partie = .................... .................................................................................... x
Le nombre par lequel il faut multiplier la circonférence pour avoir le rayon = . . . . . . k
Le volume cherché de la pièce = ......................... .. ; .............. ................................. .. V
Le rayon de la base sera k C , et la surface de cette base aura pour valeur’ ' k C - ; pareillement
la surface de la section circulaire, à l’autre bout de la pièce,' sera 7 h c V
On aura ensuite, pour la solidité du cône, supposé entier, la valeur f : [ a - s - x ) . - iL O o u
’jA ( a - i - * ) 0 , et retranchant de cette valeur celle de la portion de cône qui a x pour hauteur
et 7 k e1 pour base, on a :
V = i k [ (a -+ -* ) C* -— c i x ] = j l [ x ( C ‘ — ( ‘ j - t - i tC * ] ;
mais si on imagine une section plane du cône par son axe, on aura deux triangles semblables
qui donneront ;
x : k c : : a - i - x : h C ,
d> . \- / . ' a c' I ou................ ...................................... X = ------9
C — c
et cette valeur étant substituée dans celle de V , on a, toutes réductions faites,
(A ) . . . . . . . V = X C ) -+ - (> } .
INS TRU C T ION ; Xix
Le nombre k est la moitié du rapport 0,31830 988(31 du diamètre a la circonférence*
et on a . . . ...................• • • • • Æ = 0ji 5 9 i 5 4 9 4 3 1
doù § . . ...................... . . . * * =0,0265 2 58239
En introduisant ce facteur dans la formule ( A ) , et s’arrêtant à la décimale du cinquième
ordre, on a norre première règle de calcul pour les bois ronds de grosseur variable.
Cette première règle -est applicable à une unité de mesure quelconque, a laquelle on
rapporteroit les dimensions tant longitudinales que transversales de la pièce 3 mais si on
mesure C et c en pouces, a en pieds, et qu’on veuille avoir le volume en pouces cubes,
il faudra substituer 1 1 a a a ; ou, ce qui revient au même, laisser a exprimé en pieds
et substituer 1 i k à k , et on aura pour facteur ou 1 k = 0,31830 988623 c est. le
facteur constant de la deuxième règle. ' *
C et c étant toujours,exprimés en pouces, et a en pieds, si on veut avoir le volume
de la pièce en pieds cubes, on observera- que chacun des pouces carres qui composent
la suîfacè c (C C z, n’est qu’un 144e de pied carré, et quainsi, pour ramener le
produit ^ [c.(C-+-
C 1] à des pied:
k
employer le facteur constant
cube il faut diviser le facteur ^6 par 144, ou — o ,p 4 ïi 84107, qui est celui de la troisième
6X <44 .
règle. .
Enfin C et c étant toujours exprimés en pouces, a en pieds, et 1 expression
o,o6'o i84J .a[c(C-b-c)-+-C1] donnant des pieds cubes, pouravoir des solives il faut prendre
le tiers de cette expreèsiôn, qui deviendra par conséquent 0,0000614. u[c(C-+-c) -+-C1] ,
ainSÏ'que le prescrit la quatrième règle. •
La longueur a , qui doit être prise dans le sens de l’axe du cône, se mesure., en pratique,
sur la surface de la pièce, c’est-à-dire, dans le sens de 1 apothème ; il n en resuite
pas d’erreur sensible lorsque la longueur de la’ pièce est considérable par rapport a ses
dimensions transversales , ce qui est le cas presque général. Pour ramener la longueur
mesurée extérieurement à celle qu’on mesurerait dans le sens de 1 axe, il faut retrancher, de
lapremière, la quantité a — y V — <K, * étant la longueur mesurée extérieurement, et é' la
différence entre les rayons des circonférences extrêmes; on a donc a == ~\/“1 ; dans
les cas très-rares où ôn devrait avoir égard à l’excès de * sur a , on calculera commodément
a par les râbles de logarithmes, en mettant sa valeur sous la forme......... *
a ^ Y Î ^ («—-<f) ; mais- on a , en général.............. /x—* I r B*1 2 .4 ,
\ 1 • ® et on peut ainsi, dans les cas ordinaires, se borner a la correction — , ou
k ' ( c - c Y
ou 0,012665. (C - c ) \ . Mais cette correction sera presque toujours inutile, c est-a-dire qu on
pourra supposer d = « s a n s erreur sensible. Prenons pour exemple la pièce de 25 pieds
de longueur sur 17 pouces de circonférence au gros bout, et 8 pouces de circonférence au
-petit bout, dont on a précédemment calculé le volume 1 la longueur a retrancher de 25
' • . . - I ' . ' ' 8l , - . .
pieds ou 300 pouces mesurés extérieurement e s t = o , 011665 °>O I l6 6 5 X ° , i 7
o ,o o 3 4 pouces ; o,04llg4es3 la correction.de ~ de ligne est absolument négligeable, et