Mais Em==V6. Efc==2. mk— \/2. Donc V 6 I
Et:: 2 : V 2- Donc E t = y 5. Donc aussi En=\/3.
Or Ea = iBU ( fg . 154) = | v r B S T + (U S f
= ï V a + 9 « ï V n .
Donc puisque nx (y%\ 164 ) ==V(É«)1— (Ex)',
On aura aussi n*. — \/5 -— f = V|-
Donc Ex : rax : : I V 11 : V I '• ’• V 11 '• 1 • I BU
( fg . i 54 ) : BG.
Si nous considérons le triangle Ety (f g . 164 )
comme mensurateur , par rapport à une face qui
naîtroit d’un décroissement sur l’angle A f ( f g .
i 55) , il est visible que le signe du décroissement
I
seroit A r, puisque l’on a ty ( fg . 164) *. Ey : : BS
( fg . i 54) : BG. De plus, la face dont il s’agit
seroit parallèle au plan'¿En ( f g . 164) » puisque
l’on a Ex : «x : : BU (fg - 1^4) • BG. Donc, puisque
les positions des lignes E i, E«, déterminent
celle de l’hexagone entier, le plan de cet hexagone
sera situé comme une face qui résulteroit
I
du décroissement A r.
On voit par là que les côtés En, vn font, avec
nP ,des angles égaux en sens contraire. Il en est de
même des angles formés pary z 9 tz avec zK; enfin,
les côtés Et s vy 3 qui passent sur les pans additionnels
, font aussi des angles égaux , l’un avec
EO , l’autre avec vC , en sorte que la position de
l’hexagone sur le prisme est symétrique. Et puisque
les côtés Ë13 En sont égaux , il s’ensuit que
tous les autres le sont pareillement, et qu’ainsi
l’hexagone est régulier. C’est ce que l’on peut
prouver encore , en faisant attention que la ligne
qui passeroit par les points E ,î>, seroit égalç à la
moitié de LU ( fg . 154 ) , d’où il suit que son expression
est 3. D’ailleurs En—n v = '\/r5 ( f g - 164)5
d’où l’on conclura que dans le triangle isocèle qui
auroit pour base la ligne menée de E en p», et pour
côtés les lignes En , nv> l’angle Ènv est de I 20d.
248. Passons à l’autre hexagone Emuyqr ( fg .
167 ). Soit ftp ( fg . i 65 ) le même prisme que fig.
i$ 7 , sur lequel on ait tracé l’hexagone dont il
s’agit. Menons E£, m , ^perpendiculaires, l’une
sur g l , l’autre sur f o , la troisième sur dp. De
plus, ayant prolongé g f et bd jusqu’à ce qu’elles
se rencontrent en p , et de même lo et cp , jusqu’à
ce qu’elles se rencontrent en 0 : menons ju0. Si
Ion jette les yeux sur la fig. 166, qui représente
l’hexagone marqué des mêmes lettres ( fg . t65),
avec les prolongemens de bd et g f , on concevra
facilement que p f = g f ( fg . 166 ). Prolong eons
aussi m E , qr, ( fg . i 65) jusqu’à ce qu’elles se
rencontrent eu a, nous aurons évidemment E«
=twE , et e»r=qr.
Pour abréger, nous appelerons distance longitudinale
entre deux quelconques E , q3 des angles de
1 hexagone, la perpendiculaire abaissée du point
supérieur E sur un plan qui passeroit par le point
G 2