tétraèdres , dont les faces sont des triangles égaux
et semblables (i). L ’un de ces tétraèdres a pour
faces les triangles DEO, DCO, DCE, OCE {fig.
64 ). On voit le même tétraèdre représenté séparément
{.fig. 65). Un second, situé dans la partie
inférieure, est indiqué par les triangles FCG, FPG,
FPC, GPG {fig. 64); et ainsi des autres.
Maintenant, si l’on suppose que le même dodécaèdre
soit de plus divisible parallèlement aux
faces d’un cube , il faudra, pour extraire ce cube,
détacher les six pyramides quadrangulaires qui
ont pour sommets les angles solides composés de
quatre plans, et dont les bases coïncident avec les
petites diagonales comprises entre les arêtes qui
partent des mêmes angles solides. C’est ce qUi est
sensible par la seule inspection de la figure 66.
Or, chacune de ces dernières coupes, passant à
égale, distance du sommet E de l’une des pyramides
et du centre C , soudivise chaque tétraèdre
en deux moitiés, qui sont elles-mêmes des tétraèdres,
ayant pour faces deux triangles isocèles, et
deux triangles scalènes, égaux aux moitiés des
précédens. La fig. 67 représente les deux pyramides
dont les sommets sont en E et en P {fig. 66),
séparées dü reste du solide, et la fig. 68 les deux
tétraèdres partiels qui résultent de la division du
tétraèdre DEOC {fig-65 ).
(x) Yoyez l’article du grenat, p, 5 ^.5 .
Le dodécaèdre se trouvera donc partagé, à l’aide
de ces différentes sections, en quarante-huit tétraèdres
tous égaux et semblables, appliqués les
uns contre les autres par une de leurs faces.
Réciproquement, si l’on soudivise le cube renfermé
dans le dodécaèdre, parallèlement aux faces
de ce dernier solide, en faisant passer aussi les
sections par le centre, chacune de ces sections
passera en même temps par les diagonales de deux
faces opposées. Il en résultera six pyramides quadrangulaires,
qui auront pour bases les faces du
cube, et dont les sommets se confondront avec le
centre de ce cube ; et de plus , chacune de ces
pyramides étant soudivisée dans le sens de deux
plans qui passeroient par les diagonales de sa base
et par son axe , donnera quatre tétraèdres semblables
à ceux qui naissent de la division du dodécaèdre
; en sorte que le cube sera un assemblage
de 24 de ces tétraèdres.
Ainsi, cette espèce d’analyse géométrique, qui
offre d’abord une complication de plans, en apparence
très-difficile à débrouiller, conduit, en dernier
résultat, à une forme très-simple de molécule
intégrante, qui est la même, soit que l’on considère
le dodécaèdre ou le cube comme étant la
forme primitive.
Ici revient l’observation que j’ai déjà faite ailleurs
(1), et qui consisté en ce que les, molécules
(1) T. I , p. 9,3.