quoi j’observe d’abord que les directions de deux
côtés étant données, pourvu qu’elles ne soient
point parallèles, la position de l’hexagone s’ensuit
nécessairement. Cela posé , il suffira de chercher
les directions des côtés E i , En. O r , ces
directions sont aisées à conclure d’un résultat
que nous allons commencer par prouver , et qui
consiste en ce que l’angle nïE*t est droit.
Concevons que les trois plans gmMf, d t$ f,
gfdbah, se prolongent de manière à former
par leur réunion une pyramide triangulaire, qui
ait pour sommet le point f , et pour base le plan
niïLt prolongé de même convenablement. Soit céhf
(Jig. 163) pl. X X I I , dette pyramide dans laquelle
le triangle rectangle cfe répond kgrÆf (Jig.\5rf) ,
le triangle hje, qui est aussi rectangle , k d t l f ,
et le triangle obtusangle c jh à gfdbah, d’où
il suit que ce triangle est perpendiculaire sur
les plans des triangles cfe et Tfe.
Menons la hauteur fa du triangle cfe | la hauteur
./o de la pyramide, puis les lignes ao, co,
eod, et enfin la ligne d f qui se trouvera perpendiculaire
sur ef, puisque cette dernière ligne est
elle-même perpendiculaire sur le plan c fh .
L’angle ceh étant le même que nïEt ( fg . i 57),,
toute la question së réduit à prouver que l’on a
( fg . i 63 ) (ch)'— (ce)2-)- (eh)\ Cherchons successivement
ce, eh et ch.
1 °. Pour ce. Les triangles semblables hniE ( fg .
D E M I N É R A L O G I E . 95
162), cfe ( fg . l 63) , donnent E h : hm : : ce : cf.
Or, nous avons eu E h : hm : : y/3 : 1. Donc nous
pouvons faire ce— y/Z, auquel cas nous aurons
cf— i , et ef— y/2.
2.0. Pour eh. eh— V C «/)■+(/*)■• { e fy = z -
Reste à trouver f h .
Prolongeons c f indéfiniment, puis menons hp
perpendiculaire sur le prolongement ; nous auronsf
h — Y ( f p )2-|-(p h )\ Cherchons f p etph.
Les triangles cdf, çph sont semblables, à cause
de l’angle commun c et des angles droits detp.
Donc dc \ df\: çf~\fp’.p h .d c= y / ( c fy— (d f ) \
c f — 1.
Pour avoir d f , considérons le triangle rectangle
e f d , dans lequel fo est une perpendiculaire
abaissée de l’angle droit sur l’hypothénuse. Donc
f ° : eo : : d f : ef.
O r , à cause que l’angle fao— Ç>oà, comme étant
le supplément de celui que forment entre eux les
plans gmEf, G/raEF ( fg . 1^7), nous ayons ( fg ,
i 63 ) a f\ f o : : ,2 : y/ 3 ; mais parce que a f est
une perpendiculaire abaissée de l’angle droif du
triangle efc sur l’hypothénuse, ce : e f : : c f : c f $
ou, y/ 3 : y/2 : : 1 : a f — y/^. Donc la proportion
q f ’.fo : : 2 : y/ 3 deviendra y/\ : fp z: 2 : y/3.
Donc fo— y/i. D’ailleurs eo — \ / ( e fy— ( f o )*