conslruction donnée par les intersections B' se confond
avec la ligne de conslruction.
§ 56. — Réciproquement, je dis que lorsque la ligne
de conslruction coïncidera avec le relèvement BD,
les trois points M, N, P seront en ligne droite. En effet,
si par un point F' quelconque je mène une droite F' G'
parallèle a F C, et si j ’achève la construction, il devient
évident que tous les triangles G P F, C' P' F', et
B PE , B P E' étant semblables, le lien géométrique
de tous leurs sommets P P' sera une ligne droite. Or,
cette ligne devra passer par le point N pour lequel le
triangle C P F devient n u l, elle devra encore passer
par le point M pour lequel le triangle B P E devient
nul; donc ces points M, N, P seront sur une môme
ligne droite.
Il est du reste facile de voir que toutes les fois que
les points M, N, P sont en ligne droite, les points Q, R, S
sont aussi sur une même droite.
§ 57. — On peut déduire comme conséquence de ce
que nous venons de dire, que le point où la ligne de
construction vient rencontrer le relèvement A E, les
points N et P sont toujours sur une même ligne droite ;
ainsi, pour avoir un des points de la ligne de construction,
il suffira [fig. 7) de mener la droite NP et de la
prolonger jusqu’cà ce qu’elle vienne rencontrer la
droite A E en K. Cette droite elle-même sera le lieu
géométrique des points P ,P ', P ' etc., qui viendra toujours
passer par le point N, de là il sera facile de
conclure aussi que plus le point M s’éloignera de la
ligne N P , plus la construction sera favorable. En
effet, la ligne de construction et le relèvement D B
formeront nu angle d’autant plus grand qu’elles couperont
la droite A E en des points différents et trè s -
distincts l’un de l’caiitre.
lo u te s les fois que les six points se trouveront sur
une même circonférence, la construction graphique
sera insuffisante pour indiquer une station quelconque,
les conditions du problème seront en effet insuffisantes
; il est facile de voir que, dans ce cas, toutes
les équations (57) et (58) sont satisfaites.
% 58. — Dans tout ce qui précède sur les cas d’in-
siilfisance de la construction graphique (§ 13), nous
avons supposé qu’aucun des points h terre ne s’étaient
trouvés l’un par l’autre au moment des stations,
c’est-a-dire que les inégalités (54) (55) (56) étaient toujours
satisfaites. Il reste à examiner ce que devient la
construction graphique lorsque trois ou un plus grand
nombre des six points sont sur le même alignement.
Lorsque les trois points à te rre ou les trois points àla
mer se trouvent sur la même ligne, ça ne change rien
à notre construction, mais il en est autrement lorsqu’un
des points à la mer et deux points à terre se
trouvent sur la même ligne, ou réciproquement. Nous
savons déjà que la construction graphique devient
très-simple, elle est toujours possible, et même les
données fournissent des vérifications. Il reste à voir
ce que deviennent, dans ce cas-là, les ordonnées des
points. Or, toutes les suppositions que l’on peut faire
sur les gisements de ces points, les uns par rapport
aux antres, seront contenues dans les cas suivants.