en ligne droite. Pour cela, il suffirait de chercher les
valeurs des coordonnées de ces trois points, et de voir
si elles satisfont aux conditions suivantes : x y' étant
les coordonnées de M, x ” y” celles de N, et enfin x ” ij"
celles du point P, on devrait avoir
y — y" y — y "
X — X X — X
Or, les coordonnées x y' seront données par les
équations
y' — hx'-\-c
y' — d x '
x ' y ' se déduiront de
y" z= v x "+ d
y" =zd' x ”
y
a c
d’où
X =
y
d’où
d 'd
d ' — i
d
V
x"' y ” seront le résnltal de l’élimination dans les
équations
y"’= h ”x '" + c ’
ÿ " = v x " ’ + d
y
b" d ■c V
d’où
X =
b''— v'
d — r"
b" — v"
Enfin, pour exprimer la condition que ces trois
points se trouvent sur une même droite, on aurait
Téquation suivante :
d c {d’ — v )— d' d [ d ~ b )
c (d’'
■v"
d c [b” —
■v) — d {d — b)
b ''d id
c{b''— v j — d [d ■
- b ) ^ c ' v ' ' i d - . b )
'b) c (d — b)
§ 55. Nous n entrerons point dans la discussion
de cette équation pour démontrer que toutes les fois
que les trois points M, N, P trouvent sur une même
droite, la construction graphique est insuffisante pour
faire comiaUre la position des points B et C, el que, réciproquement,
lorsque la ligne de construction L L se
confond avec le relèvement B D, les trois points P, M N
se trouvent sur une même droite. Ce théorème ressort
suffisamment des considérations géométriques suivantes,
auxquelles nous nous arrêterons.
Si les trois points M, N, P sont en ligne droite, je
puis sur cette droite M P prendre un point quelconque,
P' par exemple, et par ce point faire passer deux
lignes B' F' et C' E' parallèles à B F et C E ; si je joins
ensuite B' E' et C' F' par des droites, je dis que ces
lignes seront parallèles à B E et C F, on aura en effet,
par suite du parallélisme de B' F' à B F
B 'F ; B P :: M F : MP F F ' : P E
Les deux triangles B P E, B' P' E' sont donc semblables,
comme ayant un angle égal compris entre
deux côtés proportionnels, donc B' P' est parallèle à
B P. On prouverait de même que G' F' est parallèle à
C L ; il en résulte donc évidemment que la ligne de