BI
sin. K F F sin. G C F
^ sin. B K F sin. F F C'
sin. lE ’E sin . G G F
sin. BIE sin. EE C' (b)
Si actuellement sur la ligne A F je prends une
nouvelle position, F"^, pour le troisième point de
te r r e , ce nouveau point déte rmin e ra , par une construction
entièrement semblable à la précédente, de
nouvelles positions, C", E", les lignes p artan t des
points F" et F ", et menées parallèlement aux lignes
BE et B F par leurs intersections avec le relèvement
B E et entre e lles, donneront de nouveaux p o in ts ,
r , K', L'; enfin, en opérant comme nous avons déjà
la it, on arriverait aux équations suivantes :
sin .BK 'F " sin. F F "G "
px, p ^ s i n . I 'E 'E s i n .G C 'E "
“ s in .B I 'E 's in .E E 'C "
(a')
(b')
Si actuellement on remarque que les lignes BE,
l'E " , IF ' ainsi que BF, KF', K'F" sont parallèles
entre elles, il est facile de voir, à l’inspection des quatre
égalités (a) (b) (a) (b '), que les deux rapports
BK BK'
— et sont égaux ; on aura donc la proportion
BI B1
d’où
BK : BI :: BK' : BI'
BK + BK :B I + B r : : BK : BI
—
BK^ _BK = K K
BI + B ï = U
B Î = X + K!
BK = X
Si nous remplaçons ces valeurs dans la proportion
précédente, et si nous en déduisons la valeur de X, on
trouve
X = -
KK' . Kl
T TG ^k k ^
Comme on le voit, il est facile de construire la valeur
de X , puisque cette dernière ligne est une quatrième
proportionnelle à trois quantités toutes déterminées
: ainsi, au moyen de deux positions arbitraires
pour un des points à terre F, on peut facilement
arriver à trouver la valeur réelle d’une des stations
a la mer, et par suite résoudre le problème proposé.
Il existe un moyen plus simple encore de trouver la
position véritable du point B sans construire une quatrième
proportionnelle : je ferai d ’abord remarquer
que les trois points B, L ci L' sont sur une même droite.
En effet, joignons les deux points L et L' par une
ligne droite, elle coupera la ligne DB en im point
quelconque que j ’appellerai B'. Or, les deux triangles
FBI , L B r , et KB'L, K'B'L' seront semblables,
on aura donc
B K :B'K ::B'L':B'L
BI':BI::BI;:B'L