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fixes en mer, A, B, C, on ait mené des relèvements sur
trois points de terre , D, E, F, on formera le polygone
A K B IG F H E G D .
S i l’on parvient à trouver sur le papier six points
dont les positions respectives soient telles, que ces
neuf relèvements invariables de direction se coupent
trois à trois dans l ’ordre où ils ont été observés, je dis
que le nouveau polygone ainsi formé sur le papier,
a k b i c f h e g d , sera semblable à son correspondant
sur le terrain, D G E H F C IB K A .
En e ffet, la carte étant o rien té e , tous les côtés de
ce nouveau polygo se sont respectivement parallèles à
ceux du premier, tous les angles correspondants sont
respectivement égaux. Les triangles (D G A , d g a )
(DKA, d k a ) sont semblables, à cause du parallélisme
des côtés, et donnent par suite
DA DG AK
ad ^ d g a k
Ces égalités indiquent que G K el g k sont parallèles;
par suite, les triangles (L G K , Ig k ) et (L E B ,
leb ) sont semblables, et conduisent à la suite de rap ports
suivants :
GK GE KB EB DA DG AK
gii ge kb eb ~ d a ~ dg a k
On serait conduit de la même manière à faire voir
que l’on a
HI HE BI BE FG FH CI
h i he hi be fe fh Cl
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BE
Le rapport , commun à ces deux séries d’égalités,
indique que tous ces rapports sont égaux, c’e s t-
à-dire que tous les côtés homologues sont proportionnels,
et conséquemment que les polygones sont
semblables.
De là il résulte évidemment que nous saurons construire
un triangle a b c semblable au triangle ABC
tracé sur le te rra in , si nous résolvons le problème
suivant :
Si de trois points à la mer on a pris des relèvements
sur trois mêmes points de te r re , trouver les po sitions
respectives de s ix po in ts, telles que les neuf
relèvements invariables de direction se coupent trois
à trois dans l’ordre où ils ont été observés.
§ 13.—Supposons {fig. 7) le problème résolu, et par
suite la figure cherchée construite, et soient A, B, C
les trois points à la mer, lorsque D, E, F sont les trois
points à terre. Supposons AD invariable de grandeur,
et faisons varier la position d’un des autres points,
F, par exemple : le point F devant nécessairement se
trouver sur la ligne AL, soit F' cette position nouvelle,
la ligne F' G, parallèle à F G, déterminera pour
la troisième station à la mer G une position nouvelle
qui, devant rester sur la ligne D G , sera C'; de
même, cette nouvelle position G' placera à son tour
le deuxième point à terre en E', E'C’ étant menée
parallèlement à EC. Si actuellement par les points